对封面设计问题的教学思考

摘 要：在初中数学课堂教学中，培养学生的数学思维能力和灵活运用数学知识解决问题的能力非常重要。本研究立足于教材，在学生已有知识经验的基础上，引导学生探讨解决问题的最简方法，培养了学生的思维能力和创新能力。

关键词：设计问题；教学思考；创新能力；知识经验

人教版九年级数学上册第二十一章第三节《实际问题与一元二次方程》第二课时即“探究3”：要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）

教材编排的方法是：因为整个封面长宽的比是27∶21=9∶7，所以正中央矩形长宽的比也是9∶7，设中央矩形的长为9a，宽为7a，则上下边衬宽度之比为[12]（27-9a）∶[12]（21-7a）=9∶7，设上，下边衬宽度为9xcm，左右边衬的宽度为7xcm.根据题意列出方程（27-18x）（21-14x）=[34]×27×21，求出x的值，再计算出9x，7x的值，即为上下边衬和左右边衬的宽度。

我认为这种解法是舍简求繁，而且学生思维跳跃较大，掌握起来太困难。实际教学过程中，我按照这种解法引导学生完成，但是很多学生尤其是数学基础不好的学生很茫然，他们不理解为什么要求上下边衬与左右边衬宽度的比，而且求法也是难点。课堂教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者，引导者。所有知识都有其发生，发展形成和应用的过程，而学生掌握知识必须在其已有的知识经验的基础上，经历猜想，推理，验证，然后运用，获得新知识，提升数学思维能力。基于此想理论，我让学生充分讨论交流后，得出的解法是这样的：设中央矩形的长为9xcm宽为7xcm。（这种设法以前学过，学生很熟悉，而且根据题意，很自然这样思考）。根据四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，得到中央矩形面积是封面面积的四分之三，列出方程：9x·7x=[34]×27×21，求出x的值。再用[12]（27-9x）计算出上下边衬的宽度，[12]（21-7x）计算出左右边衬的宽度。这种方法虽然是间接设未知数求解，但是学生不用教师引导即可解决，说明这种方法符合学生已有的数学经验，顺应学生思维，能够从实际背景中抽象出数学问题，构建这种数学模型，寻求结果解决问题的过程是学生熟悉的。

当然，数学课堂要培养学生的数学思维和灵活运用数学知识解决问题的能力，教材上的解法无疑是一种很好的训练素材，那么这种方法学生为何却难以掌握呢？主要是学生思维过程中缺少一座桥。这座桥就是上下边衬与左右边衬的比。这个比如果知道，那么这道题就可以用直接设要求的问题为未知数求解了。我们数学组经过几个班级，几届学生试验，把教材第22页第9题“拓广探索”作为“桥梁”，学生会很顺利“过河”。这道题是这样的：如图，要设计一副长30cm，宽20cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条宽度比为3：2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？设横彩条宽度为3xcm，竖彩条宽度为2xcm。第一种解法：平移彩条，得彩条以外矩形面积，列方程（30-4x）（20-6x）=[34]×30×20.第二种解法：直接根据小路面积为整个矩形面积的四分之一，列出方程30×6x+20×4x-4×3x×2x=[14]×30×20，有这道题作为铺垫，学生会类比思考，如果知道上下边衬与左右边衬宽度的比，即可直接设未知数，找到等量关系，列出方程，进而求出实际问题的答案。

由此，数学课堂要注重培养学生的思维能力，应用能力和创新能力。各种能力的培养需要教师在学生已有知识经验的基础上，巧架“桥梁”，举一反三，逐步提高，達到新课程标准规定的要求。

作者简介

田燕（1973—），女，大悟县芳畈镇中心初级中学数学教研组组长，一级教师。