维纳过程样本轨道特性

高宏

【摘要】维纳过程（Wiener process）是一种具有连续时间参数和连续状态空间的随机过程，是刻画金融资产价格随时间演变过程的数学工具.维纳过程的定义及性质是从随机过程的状态空间给出的，不能直接用来描述随机现象随时间演变的过程，在实际应用中会出现概念性错误.本文从随机过程样本函数角度重新定义了维纳过程，推导出了维纳过程样本函数的自相关函数、位移公式和幅频特性，可直接用于描述自然科学、工程技术和社会科学中的随机运动现象、特性及规律.

【关键词】维纳过程;布朗运动;样本轨道

一、引 言

维纳过程（Wiener process）作为一种具有连续时间参数和连续状态空间的基本随机过程，其理论不仅在概率论与随机过程学科中占有相当重要的地位，而且是刻画金融资产价格随时间演变过程的重要数学工具，在金融领域有着广泛的应用.1827年，英国植物学家Brown利用显微镜观察液体中的花粉微粒时，发现微粒在不停地做无规则运动，这种现象后来就被称为布朗运动.Einstein在1905年首先使用统计方法对布朗运动进行了定量研究，通过可测量物理量来研究布朗运动的宏观统计特性，建立了布朗运动的物理模型[1].1923年，美国数学家Wiener将Einstein的布朗运动物理模型抽象为一个纯粹的随机过程数学模型[2]，因此，布朗运动也被称为维纳过程.

Wiener是从随机过程状态空间的角度对布朗运动进行定义的，没有给出样本函数模型和样本轨道性质，在实际应用中十分不便.本文从随机过程样本函数的角度重新定义了维纳过程，并给出了维纳过程样本函数模型和样本轨道特性.

四、结 论

本文从随机过程样本函数角度，重新给出了维纳过程的定义，以及離散维纳过程和连续维纳过程的样本函数的数学模型，推导出了维纳过程样本轨道的自相关函数、位移公式和幅频特性，可直接用于描述单个布朗粒子的位移、电路中的白噪声积分、股票价格波动等自然科学、工程技术和社会科学中的随机运动现象、特性及规律，为其他学科研究和分析随机运动提供了有效的数学工具.

【参考文献】

[1]郝柏林.布朗运动理论一百年[J].物理，2011（1）：1-7.

[2]杨静，龙正武.布朗运动的启示[M].北京：科学出版社，2015

[3]王丽霞，概率论与随机过程：理论、历史及应用[M].北京：清华大学出版社，2012.

[4]田铮，秦超英.随机过程与应用[M].北京：科学出版社，2017.

[5]John C.Hull.期权、期货及其他衍生品[M].王勇，译.北京：机械工业出版社，2013.

[6]常建平.随机信号分析[M].北京：科学出版社，2013.