柔性臂坐标测量机热误差建模分析

朱嘉齐，李 勇，冯旭刚

（1.安徽工业大学电气与信息工程学院，安徽马鞍山243032；2.马鞍山钢铁股份有限公司热电总厂，安徽马鞍山243002）

柔性臂坐标测量机是一种非笛卡尔式的测量系统，通常在大型加工现场对复杂零部件进行几何尺寸的快速测量[1-3]，具有体积小、灵活性高、可操作性强、环境要求低、测量范围广等优点，但由于其串联式连杆机构，测量机的测量误差会被累积并放大[4]，导致最终的精度较低，与传统的正交式坐标测量机性能相比还存在一定差距.

目前，柔性臂测量机的误差补偿主要针对结构参数误差或角度误差等静态误差，由机械加工精度、装配误差、使用磨损等因素造成[5]，通常利用智能寻优算法或借助更高精度的测量仪器对测量机的部件进行实验来减少误差，例如：Santolaria使用一维球列作为标准件[6]，采用Levenberg-Marquarat 法（最小二乘法）对Faro的柔性臂坐标测量机进行了标定；Joubair 和Bonev[7]运用具有4个互相垂直的平面的标准立方体确定运动学参数.

随着现代精密加工和高精度测试的发展，测量机的静态误差比例在总误差中逐渐降低.而温度变化造成的热变形误差却无法消除，因此热变形误差对精密仪器的影响显著提升，成为测量机的主要误差源之一，目前对热变形误差的研究集中于外部环境温度的影响[8]，对于内热的补偿研究较少.

针对测量机的内热对测量精度的影响，在环境温度不变的情况下，本文对测量机主要部件的温度变化进行实时监测，通过BP神经网络建立热误差补偿模型，结合模拟退火算法加快收敛速度，对测量结果进行补偿.

1 测量机原理与热误差分析

关节臂式坐标测量机是仿人手臂的六自由度非正交坐标测量机，由基座、测量臂和测头通过旋转关节串联连接构成[9]，每个关节都装有角度传感器，末端坐标以角度为基准，其结构如图1所示.

图1 柔性臂坐标测量机的结构图

柔性臂测量机的经典数学模型是D-H（Denavit-Hartenberg）模型，运用坐标变换矩阵描述两个相邻坐标系的关系，相邻坐标系的齐次变换通过旋转Rot 和平移Trans 得到，因此坐标系(xi-1,yi-1,zi-1)转换到坐标系(xi,yi,zi)的变换矩阵Ai为：

式中θi是关节旋转角，li是杆件的长度，di是杆件偏移量，αi是杆件扭转角度.

基于D-H模型的坐标系统如图2所示.

图2 基于D-H模型的柔性臂坐标测量机的坐标系统简图

由于第7 个坐标系是以测头为中心，设测头中心在第6 坐标系下的坐标为(Bx,By,Bz)，因此相对于第6坐标系的转换矩阵为[Bx,By,Bz,1]T，则末端测头相对于基座坐标系的坐标表示如公式（2）：

由于柔性臂测量机由多种材料构成，膨胀系数不同，温度对测量机不同位置的参数影响也不同，因此在测量机的热源处如基座、测量臂、3个轴向旋转关节和实验空间内放置温度传感器进行实时监测.测量机的热变形误差由外热和内热造成.外热为外部环境对测量机的影响，包括工作环境温度和人体接触温度.内热为仪器自身的导线、角度传感器、采集电路等元件工作时以及关节摩擦造成的发热，根据文献[8]可知，环境温度不变时运行坐标测量机并监测各个位置的温度场变化，测量机上7 处温度监测点的温度均有不同程度的上升，说明了内热对测量机的温度产生影响.

当环境温度不变时，随着内热源导致的温度变化，测量机的各个部件受热胀冷缩影响，造成杆件的长度、杆件偏移量等结构参数发生变化，实际参数与上述模型内的理论参数不一致造成误差.根据文献[2]可知，保持环境温度不变的情况下运行测量机，对测量机的主要部件进行温度监测，每隔一定时间测量标准杆的长度并与标准值进行比较，实验表明测量误差随温度上升而增加，最终达到0.1 mm 左右，因此可知内热对测量机的精度有较大的影响.

2 热变形误差建模

2.1 BP神经网络模型

BP神经网络是解决非线性问题的主要方法，对各种信息具有优秀的综合处理能力，可以看成是一种从输入到输出的高度非线性映射，因此本文采用BP神经网络对坐标测量机的热变形误差进行建模.

神经网络模型为3 层，根据上述分析可知，7 个监测点的温度是影响测量机精度的重要因素，因此输入层为7个节点；输出层为1个节点，为测量误差；隐含层的节点数根据尝试确定为2×7+1=15. 因此采用的BP 神经网络的结构为7-17-1，模型的结构如图3所示.

图3 神经网络模型结构图

2.2 模拟退火算法

模拟退火（Simulated Annealing,SA）是模拟统计物理学中的固体退火过程，共有3个过程，分别为加温过程、等温过程和冷却过程，它的解题思路是先设定一个较高的初温，对初始解随机扰动产生新解，代入能量函数判断是否满足Metropolis 准则，随着温度系数的逐步使能量函数达到平衡状态；同时根据Metropolis抽样准则随机寻找的全局最优解.

算法步骤如下：

Step 1: 设定初始值：给定初始温度T0，始权参数w(0)=w0，设置终止检验精度e，终止温度Tmin，马尔可夫链的链长L，令初始最优解w∗=w0，迭代次数i=0.

Step 2: 产生新解：另wβ=w(k)+rand×E产生新解，其中rand为区间[-1,1]的随机数，符合Cauchy分布.

Step 3: 求 优 化 函 数：计 算ΔE=E(wβ)-E[w(k)].

Step 4: 接受判断：如果ΔE ≥0，计算接受概率r=exp[-E(εβ)/T ]，如 果r ＞pp，则w(k+1)=wβ，否则w(k+1)=w(k)，pp为区间[0,1]上的随机数；如果ΔE ＜0，则w(k+1)=wβ，w∗=wβ.

Step 5: 稳定性判别：k=k+1，如果k ＞L，则转到step 5，否则转到步骤2.

Step 6:降温T=Ti+1=αTi，i=i+1.

Step 7: 结束判别：如果(E ＜e or T ＜Tmin)，则转到Step 8，否则转到Step 2.

Step 8:输出最终最优解w*，中止算法.

2.3 基于模拟退火算法优化的BP神经网络模型

BP神经网络存在收敛速度较慢、抗干扰能力弱以及容易陷入局部最小状态等缺点.引入模拟退火算法可加快神经网络的收敛速度并提高预测精度，模拟退火算法优化BP神经网络算法的过程为：根据网络结构设定模拟退火算法的初始值，设定一个较高的温度，对其进行干扰产生新解，将BP 网络的均方根误差作为能量函数，求解能量函数，判断是否接收，循环降温，直到满足结束条件，输出最终解即神经网络的最优权值.

3 实验分析

针对测量机的结构参数误差，采用最小二乘法进行参数辨识. 为了减少环境温度误差的影响，室温保持约20 ℃，其中测头参数Bx,By为0，由中心孔保证不进行标定辨识后测量机结构参数如表1所示.

表1 参数辨识后结构参数Table 1 Structural parameters after parameter identification

3.1 实验方式

设定8 个温度检测点并实时记录，待环境温度稳定后，柔性臂测量机开始运行，实验时间设定为200 min，对标准杆上两锥窝点进行测量并计算测量长度，两点间长度已知为762.350 mm，每隔5 min测得10组数据，共得400组数据，每个单位时间内的10组数据中9 组为训练样本，1 组作为测试样本，用以验证神经网络模型预测效果，测量示意图如图4所示.

图4 测量示意图

3.2 数据分析

环境温度不变时测量机在5 min内测量15组标准杆长度数据，参数辨识前后的长度误差如图5 所示，参数辨识前误差范围在-0.136 2 mm ～0.139 6mm 之间，辨识后误差范围在-0.070 5 mm ～0.064 68 mm之间，长度误差得到了减少.

图5 参数辨识前后测量误差

为了验证模型有效性，在对SA-BP神经网络模型训练使其达到结束的条件后，将40组测试样本代入模型中进行补偿，对补偿前后的测量误差进行比较. 热变形误差补偿后的比较和分析如图6 和表2所示.

图6 测量示意图

表2 补偿前后的测量误差

从上述图表中可知，仪器自身发热造成的误差随时间逐步增大，补偿前最大的测量误差为0.216 8 mm.采用SA-BP模型补偿后，测量误差的平均值为0.006 9 mm，减少了0.020 2 mm，精度提高了74.5%，相比BP模型补偿后的误差平均值0.019 8 mm，补偿效果得到了进一步的提升. 此外SA-BP 模型比BP模型补偿后的标准差0.057 9 mm 更低，表明了SABP模型补偿后的误差更具有稳定性.从表2的数据可知，SA-BP 模型补偿后的误差范围也小于BP 模型，因此验证了所提算法的可靠性.

4 结语

本文分析了柔性臂坐标测量机的热变形误差因素，主要讨论了测量机内部发热对测量精度的影响. 针对热变形误差问题，采用BP神经网络建立误差补偿模型，当外部温度不变时测量机开始实验，每隔一定时间测量标准件并记录数据作为样本，减少了标定实验的复杂性，利用模拟退火算法得到神经网络的最优权值，避免陷入局部最优解. 实验结果表明，运用SA-BP模型补偿后的测量误差平均值为0.006 9 mm，标准差为0.038 9 mm，相比BP 模型补偿后测量误差得到了进一步的抑制，补偿后的效果更好.