分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用探究

摘 要：数学思想方法是解题的灵魂，只有掌握良好的思想方法，才能够提高数学解题的能力，将知识转化为实际的技能。基于此，本文主要分析分类讨论思想方法应用在初中等腰三角形问题当中的价值，探讨具体的应用对策，有计划、有意识、有步骤地渗透分类讨论思想。

关键词：分类讨论;数学思想方法;教学应用

一、 分类讨论思想在等腰三角形中应用的价值

新课程改革要求我们创新数学教学的方法，在整个数学教学的过程当中，不仅要提高学生探索知识的边界，更要学生感悟数学的基本思想，对数学产生兴趣，从实践教学经验来看，分类讨论思想应用在等腰三角形的教学当中，具有以下几方面的价值：

1. 可以帮助学生挖掘数学学习的本质，掌握数学学习当中的差异点与共同点，采用适当的标准，不重复、不遗漏地对问题进行有限的讨论，通过逐渐分析、按步骤解决的方式，来提高数学计算的精准程度。

2. 分类讨论思想可以在三角形教学当中，通过定理的推演求解，开展系统的分析，达到标准统一、不重不漏的实际效果，在一些问题的解决当中，还可以将繁杂的步骤简化，促进学生用形象的知识理解抽象的概念，更好地形成数学运用能力。

3. 分类讨论思想是一个人思维条理性和概括性的重要基础，通过三角形教学当中分类讨论思想的应用，可以帮助学生发展核心素养，提高数学的思考能力，在原有的学习基础之上，提高自己的总结能力，概括能力和分析能力。

4. 对于我们中学生来说，分类讨论问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后再逐类进行求解的一种数学解题思想。有助于学生解题能力的提升，建立起对于数学学习的兴趣。

5. 分类讨论思想往往被用在一些题目条件含有不确定因素，或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或若干个局部问题来解决。这类问题也是等腰三角形当中的重点问题和难点问题，只有通过分类讨论才能进行知识的解答。

二、 分类讨论思想在初中等腰三角形问题中的应用

（一） 步骤拆分

在解题的过程当中，我们要将研究问题当中拆分出各个情况，制定一个统一的标准，根据这个标准来划分成不同的小步骤，以不同的形式来解决这些问题，最终将一个大问题拆分成不同的小问题，使得原始的大问题可以得到正确的解答。这种拆解方式是分类讨论的基础和灵魂，在教学的过程当中，教师要有意识地渗透分类讨论的思想，不断丰富课堂教学的形式，补充分类讨论的内容，采用灵活有效的教学手段，鼓励学生进行分类讨论的思考，既要培养学生的创新意识，也要鼓励学生在原有的知识基础之上，进行发散性思考。

【案例1】 在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，求∠C

解：在DC上截取DE=BD，连接AE， ∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADE=90°

在△ABD和△AED中，AD=AD，∠ADB=∠ADE，DB=DE，

∴△ABD≌△AED（SAS），

∴AB=AE，∴∠B=∠AEB

又AB+BD=CD，DE=BD，∴AB+DE=CD，而CD=DE+EC

∴AB=EC

∴AE=EC，

故设∠EAC=∠C=x°，∠AEB為△AEC的外角

∴∠B=∠AEB=∠EAC+∠C=2x°，∴∠B=2x°

在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C=180°

∴2x+120+x=180

解得：x=20，则∠C=20°。

在分类讨论教学过程当中，要选择合理的分类标准，不能盲目地按照学生的喜好来进行个人的分类，在解题的过程当中，教师可以组织学生多练习经典的类型，从而更好地避免少讨论或多讨论的现象，提高解题的效率，做到不重不漏、层次分析。这样的教学方法实现需要一定的时间，但是教师要鼓励学生在多次的训练当中，不断培养对于学习的自信心，了解到只有进行多样化的练习才能够更好地掌握分类讨论的思想。

（二） 进行分类计算

在实际教学的过程当中，分类讨论思想的应用也与很多计算有关，很多学生由于思维能力的不足，在逻辑方面有一定的漏洞，无法掌握这种高效的数学思想方式，在实际讨论的过程当中，或者出现重复讨论的现象，或者出现遗漏讨论现象，这都无法达到良好的分类讨论的效果。因而在教学的过程当中教师要对学生的讨论结果进行反思分析和指导，要求学生按照自己讨论的结果与答案当中进行比对，了解到哪一个层次出现了漏洞，是进行了哪些项目的探讨？从而优化解题的过程，学生可以将这种分类讨论的结果记录到自己的错题本当中，从而对实际的讨论情况进行优化分析。

【案例2】 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设运动的时间为t（秒）。当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

本题目考察的知识点有等腰三角形的定义、勾股定理、无理方程的解法、一元二次方程根的判别式。在读题时就要明白该类题需分析BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ三种情况。与该题类似的还有在平面直角坐标系中，两点固定，另一点在一条直线上运动，求三点构成的三角形为等腰三角形有几种情况。

在解答的过程当中，重点就是对顶角的位置以及实际的运动轨迹进行解答，教师可以引导学生分类讨论P、Q两点的位置，设置以P为中心和以Q为中心两个要点，从而获得正确答案“要使以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，则需有BP=QP，或BP=BQ，或QP=BQ。”教师要善于启发学生的思维，始终以学生为教学的中心，了解学生的解题思路，分析学生在解题过程当中遇到了哪些问题，从而更好地对学生进行指导。很多学生在实际解题过程当中，缺乏反向思维，在已知三角形为等腰三角形的条件下，可以很好地进行问题的分析，但是给出相关条件之后，对于三角形是等腰三角形的判断，缺乏足够的思考，教师就可以引导学生从该三角形是等腰三角形和该三角形不是等腰三角形两个角度来进行讨论，从而对已知条件进行优化运用。

（三） 设置分类讨论问题

除了解答题当中，填空题、判断题当中也蕴含着丰富的分类讨论思想，很多教学题目都是组合化的，学生如果基础知识掌握不够牢固，就很容易误判。例如，等腰三角形与矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、锐角的三角比、相似三角形的判定和性质等知识联合在一起，就要求学生对于等腰三角形的定义深入理解，除此之外，涉及点的运动的题目也常常运用分类讨论思想。

【案例3】

例如在题目3：△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.的解答当中，教师就要指导学生将等腰三角形定义的知识与三角形的锐角三角形判断知识联合在一起，进行系统分析。在题目4：在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，边BC上的高AD=12cm，求△ABC的面积。当中，学生需要对等腰三角形的综合判断进行分类。

布置不同类型的分类讨论作业，可以帮助学生在实际解题的过程当中积累分类讨论的经验，关于三角形图形位置改变的情况进行系统的讨论，按照相关条件进行几何图形的分析，对于所有符合条件的图形进行正确的解答。在这样的过程当中，学生可以根据不同题干的对比，掌握真正的分类讨论思想，并且做到不重不漏。例如在题目4当中，就可以通过内部、外部两种情况来进行分类讨论，从而正确的解答问题。

（四） 开展分类教学

在一个班级当中学生的知识能力参差不齐，只有面向全体学生进行系统性教育，才能够避免学生负担过重、压力过大。开展分层讨论，可以在学生原有的基础之上，不断提高教学的实际质量和效果：

第一，进行分类讨论教学过程中教师也要因材施教，根据学生的具体情况设置不同的分类教学目标，采取不同的教学方法，按照整体进行不重叠不遗漏的探讨，对各个问题进行分享解决，从问题考查的角度、问题解决的方式、问题实际的答案设置良好的分类标准。

第二，在等腰三角形教学的过程当中，整个分类讨论的思想实际上就是化整为零分而治之，作为一种重要的思想方法，教师要不断提高对于分类讨论的重视程度，掌握实际的教学策略。为了提升教学的实际水平，教师要进行充分的教学准备，既可以和经验丰富的教师进行探讨，掌握深化分类讨论教学效果的方法，也可以在网络当中进行视频课程的学习，提升分类讨论的灵活程度，吸引学生的学习兴趣。

第三，教师要对于分类讨论的教学细致准备，对引起讨论的原因进行整合分析，对于问题的定义进行讨论，如果这个讨论是由点引发的，那么就要引导学生对于三角形的范围限制条件进行逐项分析，在解题的过程当中更多的关注三角形的边和角等限制元素，开展充分的讨论。教师要培养学生养成分类讨论的习惯，在遇到复杂问题的时候，先想到运用分类讨论的方法对问题进行细化拆解，转换为自己已知的知识，进行灵活解题。

第四，在三角形运算讨论过程当中，如果整个运算是由定义引发的讨论，那么就要对运算的限制条件进行排除，在角度运算的过程当中，要对满足相应的条件进行系统的讨论，避免由于运算讨论不足导致必要条件被遗漏。整合两圆的位置关系、勾股定理、无理方程的解法、直角梯形的有关性质等知识。

第五，三角形的位置討论是等腰三角形运算当中讨论的主体，对于图形变化引起的讨论要对平面图形所处的位置进行分门别类的分析，做到化整为零。加大对分类讨论的重视程度，开展多样化灵活教学。

结论：综上所述，很多数学问题不仅在涉及的范围上带有综合性，而且，问题本身会受多种条件的交叉制约，形成错综复杂的局面，很难从整体上着手解决。所以，只能运用分类讨论思想，化整为零，各个击破，最后达到整体的解决。我们要重视思想划归，开展分层教学，不断提升教学的细致程度，促进教学质量的升级，提升学生对于数学知识的感兴趣程度，提高学生学习成绩与解题能力。

参考文献：

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作者简介：雷贵珍，中学数学一级，福建省南平市，福建省南平市顺昌县大历中学。