较低雷诺数下ITTC尺度效应换算方法的改进

姚慧岚， 张怀新

(上海交通大学 海洋工程国家重点实验室； 高新船舶与深海开发装备协同创新中心， 上海 200240)

目前，评价船用螺旋桨的推进性能主要是通过模型桨的相关实验来进行的.但受条件所限，模型桨的直径不能太大，并且工作转速也受到限制，使得模型桨的工作雷诺数远小于实桨的工作雷诺数，导致模型桨与实桨的敞水性能有一定差别.因此，工程上需要对模型桨的实验结果进行换算.

常用的尺度换算方法包括不修正、只修正转矩系数(KQ)和1978年国际船模试验池会议(ITTC)推荐的尺度效应换算方法(简称ITTC尺度效应换算方法)等[1]，其中使用最广泛的是ITTC尺度效应换算方法[2].根据第15届ITTC会议报告[3]，在螺旋桨敞水实验中，将模型桨的临界雷诺数(Re)由 2.0×105提高到 3.0×105，以缩小模型桨与实桨敞水性能的差异[4].通常使用湍流模型来模拟分析螺旋桨的尺度效应，但其无法准确地预测模型桨桨叶的摩擦阻力.近年来，随着数值模拟方法的发展，尤其是基于非结构网格的过渡流模型(γ-Reθ过渡流模型)的提出，极大地促进了螺旋桨的尺度效应的研究.Müller 等[5]利用过渡流模型对集装箱船螺旋桨的尺度效应进行分析；Sánchez-Caja等[6]利用过渡流模型对叶尖负载螺旋桨的尺度效应进行了研究；Bhattacharyya 等[7-8]利用过渡流模型对导管桨的尺度效应进行了研究；笔者曾先后利用过渡流模型对叶切面过渡流和螺旋桨的尺度效应等问题进行了深入研究[9-10].一般地，尺度效应随着模型桨雷诺数的增大而减弱，而且尺度效应越弱，修正的结果越准确，也就是说，如果要获得更加准确的实桨敞水性能，仅选择Re>3.0×105是不够的，因此，有必要对ITTC尺度效应换算公式进行改进，以使其能够在较低雷诺数下更加准确地计算尺度效应.

本文对ITTC尺度效应换算方法进行了研究，分析了其在较低雷诺数时可能存在的问题，利用γ-Reθ过渡流模型，在商业CFD软件STAR-CCM+平台上，对不同雷诺数下的模型桨和实桨进行数值模拟，并利用模型桨的敞水性能实验和速度测量实验的结果对计算模型进行验证.同时，对不同雷诺数下模型桨和实桨 0.75R剖面(叶面和叶背)的摩擦阻力系数进行分析，将数值模拟结果与ITTC尺度效应换算公式和平板摩擦阻力系数计算公式的计算结果进行对比，提出分别计算螺旋桨叶面和叶背摩擦阻力系数的改进方法，并将其与ITTC尺度效应换算方法的结果进行对比.

1 ITTC尺度效应换算方法

1.1 尺度效应换算公式

ITTC尺度效应换算公式中，在同一进速系数(J)下，实桨和模型桨的推力系数(KT)和KQ的计算公式分别为[2]

KT,S=KT,M-δKT

(1)

KQ,S=KQ,M-δKQ

(2)

式中：下标M、S分别表示模型桨和实桨；δKT和δKQ分别为由不同摩擦阻力所引起的模型桨和实桨的KT和KQ的尺度效应[2]，且

P为螺距，D为螺旋桨直径，b为实桨桨叶0.75R剖面的弦长，R为螺旋桨半径，Z为桨叶数，δCD为模型桨和实桨的桨叶黏性阻力系数CD,M、CD,S的差，t/b为桨叶叶厚比.

由上式可以看出，桨叶的黏性阻力系数取决于0.75R剖面的阻力系数.考虑到桨叶剖面与平板的不同，(1+2t/b)相当于平板摩擦阻力系数计算公式的修正因子.对于模型桨和实桨，由于Re的差异很大，所以其摩擦阻力系数的计算公式也不同[2]，具体公式为

式中：Rp=0.30 μm，为实桨的表面粗糙度；Re为模型桨在0.75R处的雷诺数.

由式(3)可知，模型桨桨叶剖面的摩擦阻力系数计算公式与平板过渡流摩擦阻力系数的计算公式类似，因此，本文将式(3)称为类过渡流公式.由式(4)可知，实桨浆叶剖面的摩擦阻力系数与雷诺数无关.

1.2 缺陷

根据平板边界层流体流动的相关知识，当雷诺数较小时，平板边界层流体的流动为层流；随着雷诺数增大，边界层流体的流动转变为过渡流；进一步增大雷诺数，边界层流体的流动全部转变为湍流.为了准确计算平板摩擦阻力，根据不同的雷诺数条件需使用不同的摩擦阻力系数计算公式.由以上ITTC的尺度效应换算公式可见，当雷诺数大于螺旋桨雷诺数的临界值(3.0×105)时，模型桨桨叶 0.75R剖面(叶面和叶背)的摩擦阻力系数均采用式(3)计算，这可能是在较低雷诺数时ITTC的尺度效应换算公式估算的尺度效应存在误差的原因.考虑到桨叶剖面强顺(逆)压力梯度对过渡流的影响，在相同雷诺数下，叶面和叶背的边界层流体的流动明显不同[9].此时，如果仍采用同一公式计算摩擦阻力系数，那么模型桨和实桨的尺度效应的估计结果将出现偏差.

2 数值方法及验证

2.1 数值方法

根据第27届ITTC会议的推荐，本文选择常规桨PPTC进行研究.螺旋桨直径为 0.25 m，螺距比 1.635，盘面比 0.779.针对PPTC桨，Barkmann[11]利用拖曳水池对其在2组不同雷诺数下的敞水性能进行了评价；Mach[12]使用激光多普勒测速技术在空泡水筒中对其尾流速度场进行测量.本文利用这些测量数据对数值结果进行验证.

在模型桨的Re为 5.0×104～4.1×106，J=0.8的条件下，通过改变螺旋桨的转速来获得不同的Re.螺旋桨数值模拟的计算域为圆柱形，直径10D，长度12D.计算域的中间有一个很小的旋转域(直径 1.3D)，计算域的其他部分设置为静止.在速度入口边界指定来流的速度，在压力出口边界设置静压力为0，参考压力为 1.013 25 MPa.使用滑移网格技术模拟螺旋桨的旋转运动.首先，应用动参考系模型对流场进行初步计算(2 000 步)，以获得较为准确的流场并用于非定常计算.在非定常计算中，时间尺度设置为螺旋桨旋转1° 所需时间.每一个时间步迭代10次.本文的数值模拟在CFD软件STAR-CCM+平台上进行.

在桨叶壁面附近设计了很密的边界层网格(20层)，并通过直接计算边界层内的流体速度分布来获得摩擦阻力(不使用壁面函数).对于旋转的螺旋桨来说，桨叶不同半径处的雷诺数是不同的.如果整个桨叶表面的第1层边界层网格的厚度相同，那么不同半径处的y+值(第1层边界网格到壁面的无因次距离)的差别较大，从而影响计算结果.为了获得均匀的y+值，本文先对桨叶沿着半径进行分割，然后，对每一个区域进行单独的网格划分，从而指定不同的第1层边界层网格的厚度以获得较为统一的y+值.对于实桨桨叶表面边界层流体的流动及浆叶剖面摩擦阻力的预测，仍然使用过渡流模型(通常使用湍流模型).最后，通过对比模型桨表面流体的流动情况来研究边界层流体流动的尺度效应.为了获得较为准确的摩擦阻力，模型桨和实桨表面的壁面y+值均控制在1以内.

2.2 验证

图1所示为桨盘面下游0.1D处平面上0.7R剖面的轴向速度和切向速度的周向分布.计算工况：J=1.253；螺旋桨转速n=23 r/s；螺旋桨进速vA=7.2 m/s，与实验工况[12]一致.图中，vx为轴向速度，vθ为切向速度.本文使用3套网格进行网格无关性验证，其网格数分别为 2.31×106(粗网格)、3.06×106(中网格)和 4.31×106(细网格).由图1可以看出，3套网格的计算结果的变化趋势与实测值[8]基本一致，而且细网格的速度计算值与其实测值[12]最接近.

图1 距桨盘面0.1D处平面上0.7R剖面轴向速度和切向速度的周向分布Fig.1 Velocity distributions on 0.7R profile of a plane 0.1D downstream of the propeller plane

图2所示为数值计算的螺旋桨的敞水性能参数(KT和10KQ)随雷诺数变化的情况，以及与实验值对比(网格数为 4.31×106，J=0.8).其中，图2(c)和(d)分别为图2(a)和(b)在临界雷诺数附近的局部放大图.可见，数值计算结果与实验值[11]接近(相对误差在5%以内)，从而验证了本文数值方法的可靠性.

图2 螺旋桨的敞水性能参数随Re变化的情况及其与实验数据对比Fig.2 Changes of propeller open water performance with Re and a comparison with experimental data

图3 模型桨(不同Re)和实桨桨叶表面的流线分布Fig.3 Streamline distribution on the blade surface of the model propeller (different Re) and the full scale propeller

由图2还可以看出，当雷诺数极低(接近于 5.0×104)时，螺旋桨的推力系数和转矩系数都非常明显地随着雷诺数的变化而变化(本文的极低雷诺数特指螺旋桨的雷诺数远小于其临界雷诺数).当Re>3.0×105时，推力系数和转矩系数的变化趋缓，即推力系数随着雷诺数的增大而缓慢地增大(见图2(c))，而转矩系数则随着雷诺数的增大而缓慢减小(见图2(d))，这是因为随着雷诺数增大而桨叶摩擦阻力变小.另外，图2中的数值结果显示的临界雷诺数与 ITTC 尺度效应换算方法的指定值(3.0×105)也较接近.

3 桨叶表面的流线和摩擦阻力系数计算公式的改进

3.1 过渡流

文献[13]中发现，当桨叶表面流线从叶根指向叶尖时，边界层流体的流动属于层流；当桨叶表面流线从导边指向随边时，边界层流体的流动属于湍流.因此，对于过渡流，流线首先从叶根指向叶尖，经过转捩点后再指向突然发生变化的区域(指向随边).

图3所示为模型桨(不同的雷诺数)和实桨的桨叶表面流线分布.首先，从实桨浆叶表面的流线指向可见，叶面和叶背的边界层流体流动几乎都是湍流，而模型桨的叶面和叶背的边界层流体流动复杂得多.对于叶背部分，当Re从 2.32×105增加到 3.48×105时，圆圈标出的流线的指向发生了变化，说明该部分的边界层流体流动从层流(2.32×105)转变为湍流(3.48×105)；随着雷诺数增大，叶背的层流区域减少，湍流区域增大，因此，当模型桨的雷诺数大于其临界雷诺数时，可以采用过渡流公式计算叶背的摩擦阻力系数.但是，对于叶面部分，当Re从 6.97×105增加到 1.16×106时，在桨叶随边附近的极小区域才出现湍流，说明当雷诺数大于临界雷诺数(3.0×105)但小于某一个值时，叶面边界层流体的流动基本属于层流.因此，如果仍然使用 式(3) 计算叶面的摩擦阻力系数，则会出现较大误差.

3.2 摩擦阻力系数

图4(a)所示为桨叶0.75R剖面吸力面的摩擦阻力系数与雷诺数的关系曲线.其中所用平板过渡流公式即为经典的过渡流边界层平板摩擦阻力系数计算公式[2]，即

(5)

由图4(a)可以看出，平板摩擦阻力系数计算公式与ITTC尺度效应换算公式(式(3))的计算结果非常接近，说明直接使用平板摩擦阻力系数计算公式就可以较为准确地计算出不同雷诺数下桨叶剖面的摩擦阻力系数.总体来看，数值结果与ITTC尺度效应换算公式(式(3))以及平板摩擦阻力系数计算公式(式(5))的计算结果也较接近(除了在极低雷诺数时有较明显的误差外)，这也说明采用本文数值方法预测不同雷诺数下桨叶摩擦阻力的准确性较高.

综合考虑，在改进方法中，仍使用ITTC尺度效应换算公式(式(3))来计算模型桨浆叶 0.75R剖面吸力面的摩擦阻力系数，即

(6)

(7)

图4(c)所示为实桨桨叶0.75R切面的压力面和吸力面的摩擦阻力系数与雷诺数的关系曲线.本文分别对光滑桨叶和粗糙桨叶(Rp=0.3 μm)进行模拟.可以看出，Rp=0.3 μm的桨叶的摩擦阻力系数比光滑桨叶的摩擦阻力系数略大.但是，数值结果比ITTC尺度效应换算公式(式(4))计算的结果小得多.

图4 模型桨桨叶0.75R剖面吸力面和压力面及实桨0.75R剖面的摩擦阻力系数与Re的关系Fig.4 Relationships between the friction coefficients of suction side and pressure side of 0.75R blade section of the model propeller and the full scale propeller with Re

另外，由图4(a)还可见，桨叶切面的摩擦阻力系数可用相应的平板摩擦阻力系数计算公式估算.考虑到实桨的雷诺数极大以及桨叶表面完全被湍流所覆盖(见图3)，因此，本文使用湍流边界层平板摩擦阻力系数计算公式(FTBL公式)[2]对实桨浆叶切面的压力面和吸力面的摩擦阻力系数进行计算，其结果见图4(c).可以看出，FTBL公式的计算结果与本文的数值计算结果非常接近.因此，在改进方法中，可以直接使用FTBL公式计算实桨桨叶切面的摩擦阻力系数，即

(8)

图6 不同Re时2种方法估算的实桨敞水性能参数与实桨数值模拟结果Fig.6 Calculated values of the full scale propeller by two methods under different Re and the simulated values

4 2种方法的计算结果对比

图5所示为不同雷诺数下模型桨的推力系数和转矩系数的尺度效应(δKT和δKQ)的计算结果.可以看出：当模型桨的Re>1.0×106时，2种方法的计算结果基本一致；而当Re<1.0×106时，改进方法计算的尺度效应幅值比ITTC尺度效应换算方法计算的结果偏大，并且随着雷诺数减小，改进方法计算的尺度效应幅值明显增大，这是符合常理的(与实桨的雷诺数相差越大，尺度效应越大).需要注意的是，此时，ITTC尺度效应换算公式计算的尺度效应随着雷诺数的降低而减少.

图6所示为2种方法估算的实桨敞水性能参数与实桨的数值模拟结果.由图6(a)和(b)可以看出，当雷诺数极低(Re<1.0×105)时，2种方法估算的实桨敞水性能参数(KT,S和10KQ,S)均随雷诺数增大而变化明显，说明当Re<1.0×105时，即使利用ITTC尺度效应换算公式修正，估算的实桨的KT,S和10KQ,S与其实际值也相差很大.随着雷诺数增大，2种方法估算的实桨的KT,S和10KQ,S与实际值接近.此时， 模型桨的雷诺数处于 3.2×105～1.0×106.虽然2种方法的计算结果接近，但从其局部放大图(图6(c)和(d))可以看出，当雷诺数接近于临界雷诺数(3.0×105)时，无论其数值还是变化趋势，改进方法估算的实桨的KT,S和10KQ,S更接近实际值.同时还可见，当雷诺数继续增大(大于 2.0×106)时，2种方法估算的结果基本一致.但是，根据变化趋势可以推断，估算的实桨的KT,S和10KQ,S随着雷诺数增大而越来越偏离实际值，这是ITTC尺度效应换算公式的负作用所造成的.其实，当模型桨的Re>2.0×106时，模型桨的敞水性能参数可以不修正而直接用于实桨.

图5 不同Re下模型桨推力系数和转矩系数的尺度效应Fig.5 Scale effects of propeller thrust and torque coefficients under different Reynolds numbers

5 结论

(1) 在较低雷诺数下，螺旋桨叶面和叶背的边界层流体的流动完全不同，叶背边界层流体的流动为过渡流，而叶面边界层流体的流动为层流.即使在较大的雷诺数下，叶面和叶背边界层流体的流动都为过渡流时两者的摩擦阻力系数也不同，不能采用同一公式计算.所提出的分别计算叶面和叶背摩擦阻力系数的改进方法可行有效.

(2) 在较低雷诺数下，改进方法计算的结果比ITTC尺度效应换算方法计算的结果更接近于实际值；当Re>1.0×106时，2种方法的计算结果基本一致；当Re>2.0×106时，雷诺数越大，2种方法的计算结果偏离实际值越多，此时，模型桨的敞水性能参数可以直接用于实桨.