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——名师例析数学文化(11)概率统计

■北京市第十二中学高中部 高慧明

■北京市教育学院丰台分院 张 琦

一、概率统计的基本介绍

现代社会是一个信息化的社会,生活中人们常常需要收集各种数据,之后对所收集的数据进行处理,从而提取有价值的信息,作出合理的决策。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据。随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。因此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。

1.概率和统计,是两个彼此独立的数学分支

这里概率指的是概率论,其萌发于16世纪的赌博中“得分问题”。1657年,惠更斯在他和帕斯卡、费马等人讨论的基础上,写成了《论赌博中的计算》一书,标志着概率论成为研究随机现象的一门独立学科。此后,雅各布·贝努利的遗著《推测术》(1713年出版)的出版,标志着概率论成为数学的一个重要分支。

统计指的是数理统计,其萌发于19世纪,形成于20世纪中叶。1946年,英国数学家费希尔发表《统计数学方法》,才标志数理统计学的成熟。

从这个角度来讲,概率和统计,是两个彼此独立的数学分支。

2.概率是统计的理论基础,统计是概率的应用

概率论是研究随机现象中某事件发生的可能性,用来度量随机事件发生的可能性大小。随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件,如概率论最初研究的掷骰子问题。概率论发展至今在高能物理学、天文学、化学反应动力学、生物数学等学科中具有重要应用。许多服务系统如通信、探测、预报、自动控制等都要应用概率论的内容。而在这个过程中,数理统计的具体模型发挥着不可替代的作用。

而数理统计的基本研究过程是:收集数据,处理数据,提取信息,作出决策。这些数据都是来自同一总体,而我们进行统计分析的目的,并不在于这些数据本身,而是把它作为一个样本,通过它来推测总体的分布规律。这就必须运用概率论的理论。而在概率论产生之前,要作出数据以外的推断是不可能的,要从抽样调查去了解总体分布也是不可能的。从这个角度讲,概率论是数理统计的理论基础。

二、概率统计中文化元素的梳理

概率统计从其诞生发展至今都蕴涵着浓厚的数学文化色彩,数学文化是激发同学们学习兴趣、养成良好学习习惯和提高核心素养的有效途径。下面我们将对概率统计中的数学文化价值进行简单的梳理。

1.概率统计具有很强的实践性和应用性

概率论源自“赌博游戏”,数理统计基本研究过程是数据的收集、处理、理解和分析,这就使得概率统计从诞生的时刻起,就具有明显的实践性和应用性。比如数学期望体现的是随机变量的平均水平,数学期望可以解决许多实际生活和应用现象中的问题,各种媒体中也经常用数学期望来表达某些社会现象的发展状态。再比如方差是在概率论和统计中衡量随机变量或一组数据的离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望(即均值)之间的偏离程度。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中,研究方差即偏离程度有着重要意义。

例1某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况,从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试,并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩。记录的数据如表1。

表1

分析:本题答案很简单,显然但怎么就显然了呢?其实,如果同学们对数据进行一下处理,先计算出来考核成绩,如表2,再将所有成绩按从小到大顺序排列一下(不关注具体的学号),如表3,此时自然能得结论原因是第一轮测试成绩与第二轮测试成绩完全相同,平均数自然相同。,则是因为明显第一轮测试成绩波动程度要远远大于考核成绩波动程度。本题非常完美地体现了数据处理的过程,需要同学们对平均数和方差概念有深入的理解,计算反而退居末位了。

表2

表3

2.概率统计思维特点——随机性、偶然性、似然性

随机性、偶然性、似然性的思维方式是概率统计的主要思维特点,但这些特点又具有严格的数学表达形式,这使得对于习惯了确定性、必然性、唯一性的思维方式的同学而言是极具挑战的。法国数学家拉普拉斯曾云:“生活中最重要的问题,绝大部分其实只是概率问题。”我们看个糅合着必然与偶然、确定与随机的具体例子:给定一根木棒,谁都不会怀疑它有自身的“客观”的长度,长度是多少?我们可以用各种仪器去测量,但是不管我们的仪器多么精确,你得到的数据也总是稳定在木棒真实长度的附近。

例2预计某地区明天“降水概率为0%”,你是怎么理解的?

分析:比如说没有学过概率论的人,可能会认为“该地区有70%的地方会下雨,或是降水概率越大雨就下得越大”。但是即使学过概率论系统知识的数学老师,也经常会发出这样的感慨:“天气预报不准……”其实,降水概率一词有两种理解方式:一是指某地的历史气候降水概率,完全是依据历史气候资料统计计算分析得出的结果;二是在天气预报中应用科学技术依靠各种知识、信息和技能建立数学模型对未来天气进行分析和预测。但是受到技术手段的限制,后一种建立模型的方法往往更不精确,所以现在我们都是采取第一种方法来预测。那么从统计的角度而言,“降水概率为70%”的含义可以近似理解为与明天天气情况类似的某些日子里,有70%的日子有降水,而明天是否降水,则需要你自己去判断。所以有人说“天气预报不准……”这句话本身就是有问题的。

3.概率统计中蕴含丰富的数学思想方法

概率统计学习的核心可以简单地概括为:处理数据而不是研究数字;关注活动而不只是死记概念;强调过程而不是只看结果。概率论属于不确定性的数学,是为了寻找随机现象中的规律性,这与我们平时强调的数学、几何、向量从思维到学习方法上都是不一样的。

如同其他数学学科一样,概率统计也具有丰富的数学思想方法,如随机思想、公理化思想、化归思想、模型化思想、推断思想等。概率统计的思想方法往往蕴含在日常生活和概率统计的教学内容中,可以帮助同学们提高分析和解决实际问题的能力。我们不妨来看下面这个例子。

例3如图1,面积为S的正方形A BD中有一个不规则的图形M,可按下面方法估计M的面积:在正方形A B C D中随机投掷n个点,若n个点中有m个点落入M中,则M的面积的估计值为,假设正方形A B C D的边长为2,M的面积为1,并向正方形A B C D中随机投掷10000个点,以X表示落入M中的点的数目。

(Ⅰ)求X的均值E X;

(Ⅱ)求用以上方法估计M的面积时,M的面积的估计值与实际值之差在区间(-0.03,0.03)内的概率。

图1

表4

分析:每个点落入M中的概率均为p=依题意知

本题是标准的二项分布模型,熟练掌握二项分布的相关知识是解决本题的必要条件。本题能很好地体现概率统计中的模型化思想。

在学习概率统计时,引入数学文化的相关知识,

不仅能使我们体验到数学的发展过程,

同时还会使我们感受到数学的进展是脚踏实地的,

是一步一个脚印的。