期权定价模型与随机波动

罗雅沁

摘 要：随机波动率的主要思路是将标的资产价格的波动率描述为一个由价格水平、波动率均值回归趋势和波动率方差控制的随机过程。它考虑到了期权定价中的不确定性因素，让定价更具代表性，与实际市场价格相拟合。

一、引言

通过多个贴近市场模型的具体实现提供了一种新的期权定价解决思路，即使市场参与者没有获得期权市场价格的渠道，抑或在流动性不够充裕的情况下，也可以按照标的实时价格通过本文提及的模型计算相对应的期权价格作为参与市场的参考。最主要的是，考虑到资产价格回报的诸多特点，随机波动率类模型的引入克服了以往期权定价的诸多不足。

二、Black-Scholes模型

随机波动率实质上就是跳出了传统金融市场以一定时期内波动率作为恒定参数考虑市场的框架，而认为波动率本身是随着价格变化而变化的，这一变化过程符合随机过程。在当前的金融市场，因为该类模型考虑的因素更多、理论基础更为严谨而受到不少投资者的关注。

虽然Black-Scholes模型通过随机波动率对期权定价（某些宽松的假设实质上在交易过程中也是可以被接受的），也将影响期权权力的波动率及分布概率等问题引入到整个评估体系中，但当时还有诸多尚未解决的问题，其中一个重要的不足之处在于它对于基础资产价格回报恒定波动率（以及其波动率不受价格变化影响）的假设。这种假设意味着使用期权的对冲者要不断地对波动率假设进行调整来反映实际的市场价格数据，从而导致了对冲比例的不断变化，也導致了传统期权定价模型无法对隐含波动率的一些固有特性给予合理的解释。在现实市场中，Black-Scholes模型给出的期权理论定价也比较难吻合观察到的期权市场价格。

Black-Scholes模型根据当前标的价格和静态波动率来得到当前的期权价格，存在着一些难以克服的缺陷，比如说假设股票价格的收益率是遵循一个固定的均值和方差的正态分布等。但是在实证中我们发现波动率事实上随时间变化有一个集聚过程，这与Black-Scholes模型假设有极大的出入。另外金融界与学术界也意识到金融价格时间序列的分布形态明显体现出尖峰厚尾的回报特点，也即是说市场的尾部风险较高，这实质上是期权定价中一个明显的溢价因素，且不能被固定波动率的假设所捕捉。除此之外，金融价格时间序列中波动率偏离后均值复归的特点也是Black-Scholes模型无法刻画的难点。在期权市场的实际交易中隐含波动率往往呈现波动率微笑形态，随着执行价格不同位置的变化，期权反推的隐含波动率并不一致。

三、Hull-White模型

Hull和White（1987）提出了一个期权定价模型，在该模型中有两个不确定来源，即资产价格未来轨迹和波动率的未来轨迹。在上述参数化过程中，波动性风险价格设定为0，。这一假设意味着波动性风险不存在风险溢价。与此相反，Heston（1993）已经引入了一个具有非零波动性风险价格的闭式模型。

Hull-White模型考虑到了期权价格波动率的相关系数和波动率（波动率的波动率）的影响。波动率的波动率较高意味着收益的风险中性分布显示出较高的峰度。对该模型来说，出现最大限度的盈利和亏损比资产价格遵循对数正态分布的Black-Scholes模型可能性更大。当收益冲击和波动率冲击之间的相关系数为0时，风险中性分布是对称的、尾肥的。相关系数的符号决定了分布的对称性。考虑到相关系数为负的实证相关案例，收益风险中性分布的左尾比右尾包含更多的机率质量。正如Abken和Nandi（1996）讨论的一样，负偏斜性对定价有影响： B-S定价模型对价外看涨期权定价过高。

为使参数估计的计算可行，像Hull和White（1988）模型中一样，我们运用泰勒级数展开。假定时刻t的方差为其长期均值V=-a/b且未来轨迹由方程（6）说明。在Hull和White（1988）模型中，欧式看涨期权的价格可用和来决定。

其中是相应的B-S模型价格。Hull和White（1988）模型导出了因子且决定了B-S模型价格的误差。对于该模型参数的估计，我们采用模拟退火法使SRPE（as outlined earlier）最小化.该过程表现出比标准算法更优的最佳收敛性。

四、总结

总的来说我们断定模型的效能与所采用的功能函数密切相关。尽管BS模型的理论价格与实际价格的相符性较好，但是它对期权收益分布两端的预测精度较低。我们讨论了这些结果的分歧并认为对VaR预测而言，基本的条件正态假定是有问题的。

对于今后的研究，运用厚尾分布（例如学生氏t分布）来指定基本定价方法前景广阔。那是期权定价模型就从应用条件正态分布的BS模型延伸到了采用条件t分布的模型。

最后，随着业界对期权隐含波动率变化了解的加深，从形状特点入手解决期权问题的思路也是大势所趋。从波动率曲面来看，我们可以通过分析期限结构和波动率偏离来指导我们对市场方向性的判断，关于波动率曲面的深入研究，不论是对期权本身特性的了解，还是对发现潜在套利机会以及制订交易策略，都有着重要的意义。

参考文献

[1] 《期货日报》

[2] 百度百科——https：//baike.baidu.com/item/期权定价模型/6333213？fr=Aladdin