关于高中数学函数的奇偶性、周期性及图象对称性的分析

郭姝君

摘 要：在高中数学教学中，函数部分是整个知识体系的重点，而函数中最为重要的当属函数的奇偶性、周期性和图像对称性。基于对当前很多同学学习上存在问题的了解和分析，本文总结了一套针对这些知识点的学习方法，从而让同学们能够加强对这些知识理解程度，在应试过程中对这些知识进行合理应用。

关键词：高中数学；函数奇偶性；函数周期性；函数图像对称性

函数的奇偶性、周期性和图像对称性本身难度较为一般，但是要对这些知识进行灵活应用则难度大幅上升。另外在高中数学知识体系中，函数可以分为两个部分，其一为普通函数，另一种为三角函数，经过对同学们学习难点的了解，笔者发现同学们对三角函数这些性质的掌握情况要低于普通函数，所以同学们在今后的学习中需要加强对这些知识的学习。

一、高中数学函数奇偶性的分析

（一）探究函数奇偶性的判定公式

函数奇偶性的判定本身不存在难点，并且对这些公式的基于也很简单，难点在于对这些知识的应用，要提升对这些公式的应用效率，同学们在学习过程中需要对这些判定公式进行深入分析，本文将从下述角度进行分析：（1）普通函数。普通函数通常对这些公式的应用较为简单，即f（x）=f（-x）为偶函数，f（x）=-f（-x）为奇函数，但是在当前的出题中，这类知识通常会与积分和微分知识进行融合，所以需要研究的为奇偶性函数求导以及求积分后函数的奇偶性变化情况。尤其是在求定积分时，应用函数的奇偶性变化能够大幅降低计算量。例如对于题目已知函数为 ，求该函数在区间[-1，1]上的定积分，通过对该函数的观察可以看到，第一项与第四项为奇函数，所以在对称区间上的定积分为0，最终只需计算第二项与第三项的定积分即可。（2）三角函数。三角函数学习中最重要的内容为记住基本三角函数的图像，通过图像记忆能够快速发现函数的奇偶性[1]。

（二）融入数形结合思想

在数学学习中，最重要的思想之一为数形结合思想，所以在学习过程中需要了解各类基本函数的形状。例如对于函数 、 等，同学们需要对这些函数的图像有深入记忆，以探究这些函数的奇偶性。需要注意的是，在记忆了函数的图像后，需要了解函数奇偶性在图像上的对应关系，奇函数的图像为以坐标原点为对称中心的中心对称图形，偶函数为以y轴为对称轴的轴对称图形。另外对图形的记忆也能够更好了解函数求导或微分后的奇偶性。

二、高中数学函数周期性的分析

（一）建成数学学习中的运动观点

在函数学习中，图像的运动观点将发挥重要作用，对于同学们来说，在深入学习中需要应用运动的观点加深对知识的理解。周期函数最直观的体现为各类三角函数，所以在学习中可以以三角函数为周期函数的学习基础，探究函数的周期性。例如对于三角函数中最简单的 ，该函数显然为周期函数，那么运动观点为，在函数上取[-π，π]为函数中最基本的一段，让这段图像在直角坐标系中向左和向右平移，最终得到函数的完整图形，每一段图像完全相同，这种记忆方式能够描述函数周期性中的函数周期、周期函数图像特点等内容[2]。

（二）建设数学模型

数学模型在高中函数学习中有很高的应用广度，实际上运动观点可以看做是一种数学模型，但是对于函数周期性来说，通常会与函数对称性、奇偶性等内容进行融合出题，运动观点在求解题目时能够发挥的作用较为一般，所以需要进一步建设数学模型。比如对于函数 ，该类函数是否为周期函数？我们在学习中已经在头脑中建设了函数 的数学模型，那么首要工作為将题干中的函数简化成 形式。在高中数学中，我们会接触“函数加工厂”理念，在解题过程中可以应用这一理念对题干中函数的周期性进行探究。

三、高中数学函数图像对称性的分析

高中数学函数图像对称性的分析较为麻烦，但是其原理极其简单，对于三角函数来说，同学们已经掌握了不同三角函数的图像，通过对图像的观察能够轻易发现函数的图像对称性，所以图像对称性的难点主要集中在各类普通函数。笔者认为，要提升图像对称性的判定速度，一个重要方法为应用函数奇偶性知识，例如函数 ，显然不是图像对称函数，但是函数 是否为图像对称函数呢？此时可以应用函数的奇偶性知识，发现该函数为偶函数，由偶函数的概念可知该函数是对称函数，此时也可以绘制函数的图像。在当前的考试过程中，通常情况下函数图像对称性方面的考察集中在三角函数方面，原因在于在考察过程中能够更容易将各类知识进行融合，所以在学习过程中同学们主要需要掌握的为各类三角函数的图像对称性，并且在解题过程中最基本的工作探究函数的奇偶性。需要注意的是，在应用奇偶性的过程中，要考虑对称轴位置改变情况。

四、结论

综上所述，在高中数学学习中，要加强对函数奇偶性、周期性和图线对称性方面知识的了解程度，对于奇偶性判定需要加深对判定公式的研究深度，同时融入数形结合思想。对于周期性，可以应用运动观点与建设数学模式的方式强化对知识的了解程度。对于函数对称性，基本内容为应用奇偶性知识探究函数图像是否对称。

参考文献：

[1]雷锡金.数学思想在数学教学中的应用研究[J].中国校外教育，2018（30）：55-56.

[2]钟海锋.高中数学函数的奇偶性?周期性及图象的对称性探究[J].学周刊，2015（33）：150.