基于犹豫模糊COPRAS的多属性群决策评价方法

王 乾，耿秀丽

（上海理工大学 管理学院，上海 200093）

0 引言

多属性群决策（Multiple Attribute Group Decision Making，MAGDM）是多个决策者根据自己的知识，经验和偏好通过一定的方式对已有决策信息进行集结并对方案进行排序和择优。它的决策方法已经广泛应用于经济管理[1]、软件应用[2]、环境保护[3]等领域，因此对多属性群决策问题的研究有着重要的现实意义和理论价值。

由于决策者对客观事物认识的局限性，以及客观事物本身的复杂性和不确定性，导致决策者在决策时常常不能给出精确的决策信息。针对现实中不确定性条件下的多属性决策问题，常用区间数、三角模糊数，直觉模糊数和云模型等方法来处理评价信息。文献[4]通过风险偏好因子的引入,将区间数决策信息映射为实数决策信息，提出部分权重信息下考虑风险偏好的不确定多属性决策方法；文献[5]首先将三角模糊数决策矩阵转化为含行为偏好的决策矩阵,通过建立线性规划模型获得属性权重,从而客观地给出了各方案的排序结果；文献[6]针对属性值为直觉模糊值的多决策者、多时间点、多属性及多方案的多维度决策问题,提出基于新的记分函数等决策方法；文献[7]通过云模型、前景理论将语言变量评价转换成云前景决策矩阵,通过计算前景值贴近度来确定决策者权重。但在现有的决策问题中，决策者往往很难用单一的语言术语集去评价一个方案，这些方法难以解决专家在多个评价信息间犹豫不定的问题。

多属性群决策需要解决的另一个问题是如何对处理的评价信息进行融合和排序处理。复杂比例评价（Complex Proportional Assessment，COPRAS）通常被应用在具有多准则并且己知它们的相对重要性的决策方案的排序与选择上。本文将犹豫模糊术语集与COPRAS进行结合，提出基于犹豫模糊COPRAS的多属性群决策评价方法。采用犹豫模糊术语集表达专家的评价信息；利用min-upper和max-lower算子集结专家的评价信息，将多粒度的犹豫模糊术语集转化为语义区间数；采用二元语义词计算方法将语义区间数转化为相应的数值区间数；基于COPRAS排序方法的思想，以整体方案的满意度最大化为目标函数建立线性规划模型，客观有效的解决了属性权重问题；利用COPRAS的方法计算方案的效用度，为不确定性语言下的方案选择提供了科学的依据。

1 基于犹豫模糊评价信息的处理

定义1：一个犹豫模糊语义术语集Hs为一个语义集合S的有序子集，S={si:i=0，1，2，…，g}，例如：S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}，ϑ 为一个语义变量，则为两个不同粒度的犹豫模糊集合。

假设专家 Ek(k=1，2，…，l)对待评价项 ϑi(i=1，2，…，n)进行评价得到的犹豫模糊术语集为和分别表示l个专家评价得到的HFLTS的下界、上界的集合，采用min-upper和max-lower算子集结专家的评价信息的步骤如下：

（1）计算HFLTS下界集合的最优语义评价和上界集合的最劣语义评价。

（2）确定集结结果。

二元语义主要采用一个二元语义组（si，αi）来表示决策者的语言评价信息，其中si表示事先定义的语言评价集S中的一个语言评价等级，αi表示决策者的语言评价信息相对于语言评价等级si的偏差，αi∈[-0.5，0.5）。本文采用二元语义词计算方法对HFLTS进行分析处理。

定义2[8]：设语言评价集S={si:i=0，1，2，…，g}，si∈S为一个语言短语，则其相应的二元语义可通过下述转换函数φ得到：

定义3[8]：β∈[0，g]为语义术语集S集结运算的结果，令i=round(β)，i∈[0，g]。与β相应的二元语义可由函数Δ得到：

式中:round为“四舍五入”的取整算子。

反之，令（si，αi）为一个二元语义信息，存在一个逆函数Δ-1将该信息转换为相应的数值β∈[0，g]，即：

根据定义2，采用φ函数将转化为由二元语义信息表示的区间数即：

根据定义3，采用Δ-1函数将中的二元语义信息化为精确数值，即：

现假设待评价方案有m种，方案构成的集合为A={A1，A2,…,Am}；每个方案的属性有n个，记为C={C1，C2,…,Cn}。专家 Ek(k=1，2，…，l)根据语义术语集S={si:i=0，1，2，…，g}基于不同的属性对方案进行评价，评价结果采用犹豫模糊语言表达。假设表示专家Ek对方案Ai基于属性Cj的评价结果，采用式（1）至式（3）将专家的评价信息转化为语义区间数，然后采用二元语义计算方法根据式（7）和式（8）将语义区间数转化为数值区间数。基于转化为数值区间数的专家评价结果=[rij，tij]建立决策矩阵:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

2 使用COPRAS方法进行决策

专家的评价信息用区间形式的决策矩阵表达之后，本文采用COPRAS方法计算方案的效用度，根据效用度的大小进行决策，其具体步骤如下：

步骤1：对式（9）决策矩阵X进行标准化处理：

得到标准化后的决策矩阵：

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步骤2：计算加权标准化的决策矩阵：

其中ωj表示第j个属性的权重。

得到加权标准化后的决策矩阵̂:

其中i=1，2，...，m;j=1，2，...，n。

步骤3：计算评价对象的标准值之和Pi：

由于评价信息是基于犹豫模糊语言的形式表达的，所以本文所有的属性都被认为是效益型。

步骤4：属性权重的计算。

以整体方案满意度最大化为目标函数建立以下线性规划模型：

其中Λ为专家集体给出的各个属性权重的约束范围。解线性规划模型，得到属性的权重ω1，ω2，...，ωn。

步骤5：基于步骤4得出属性权重值，代入式（16）中，得到不含参数的标准值之和P1，P2，...，Pm。

步骤6：找出标准值之和的最大值。

标准值之和越大，方案就越重要，它描绘了专家对方案的满意程度，标准值之和越高的方案是最合适的候选方案。

步骤7：计算每种方案的效用度Ui。一种方案的效用度被定义为这种方案的标准值之和与方案最大标准值之和之间的比值。

从式（19）可以看出，每种方案的效用度的取值范围是介于0～100之间，在进行方案选择的过程中，应根据每种方案的效用度大小进行最佳方案的选择，即对Ui从大到小进行排序，不妨设U1≥U2≥...≥Um，该顺序即为方案的优先选择顺序。

3 案例分析

某大型国企欲选购一批空调来提高员工的生活和工作环境，采用本文所提到的决策方法，该企业要在5种不同品牌的空调供应商中进行采购。五种品牌的空调构成的集合为A={A1,A2,A3,A4,A5}。通过市场调研和专家讨论确定了以下8种不同的考核指标（属性）：制冷能力强（C1）、制热能力强（C2）、噪音小（C3）、售后服务好（C4）、安装方便（C5）、风力强劲（C6），污染小（C7）和节约能源（C8）。

3.1 专家评价信息的处理

由6位资深专家E（kk=1，2，…，6）基于不同的属性对上述5种不同品牌的的空调进行语义评价，评价结果采用犹豫模糊术语集表达。假设语义集合为S={s0:很差，s1:差，s2:稍差，s3:一般，s4:稍好，s5:好，s6:很好}。专家E1给出的评价信息如表1所示。采用公式（1）至公式（3）集结专家评价信息，以第一种品牌的空调（A1）的属性（C1）为例，给出专家评价信息的集结过程如表2所示。其中，集结后的专家语义评价信息如表3所示。最后采用二元语义计算方法根据式（7）和式（8）将语义区间数转化为数值区间数如表4所示。

表2 空调（A1）的属性（C1）的专家评价信息集结过程

3.2 用COPRAS方法进行决策

步骤1：根据公式（10）和公式（11）对表2中的决策矩

表3 专家评价信息的集结结果

表4 区间数表达的专家评价信息处理结果

阵进行标准化处理，标准化后的结果如表5所示。

表5 标准化决策矩阵

步骤2：以整体方案的满意度最大建立线性规划模型：

属性权重构成的集合为ω={ω1，ω2，...，ω8}，Λ 为专家给出的属性权重约束范围：

Λ={0.2≤ω1≤0.4，0.3≤ω2≤0.5，0.1≤ω3≤0.2,0.05≤ω4≤0.1,ω5≤0.05,0.1≤ω6≤0.3，0.05≤ω7≤0.1,0.05≤ω8≤0.1}。

用Excel求解上述线性规划模型，得到8个属性的权重分为：0.200,0.300,0.150,0.050,0.050，0.100,0.100,0.050。

步骤3：基于步骤2中得出的属性权重值，代入式（13）和式（14）中，得到加权标准化决策矩阵如表6所示。

表6 加权标准化决策矩阵

步骤4：基于步骤2中得出属性权重值，代入式（16）中，得到5种空调的标准值之和P分别为0.022,0.014,0.024,0.031,0.034。

步骤5：根据式（18）找出标准值之和的最大值。

步骤6：根据式（19）计算得到每种品牌的空调的效用度分别为0.647,0.412,0.706,0.912,1.000。

由步骤6的结果可知，每种空调的效用度的取值范围是介于0%～100%之间，在进行不同品牌的空调选择过程中，应根据每种空调的效用度大小进行最佳方案的选择，即对 Ui从大到小进行排序，排序结果为 U5〉U4〉U3〉U1〉U2。第5种品牌的空调的效用度最大，则该企业在采购时应优先考虑A5品牌的空调，若该品牌供应商的供应量能够满足该企业的需求量，则只需要采购该品牌空调即可；若供应量不足，则不足的部分应在A4品牌的空调供应商处采购，以此类推，直到采购的量满足该企业需求量为止。

为说明本文方法的有效性，使用TOPSIS方法对方案进行排序。为了使对比效果更加突出，采用同样的方法对专家的评价信息进行处理，即采用犹豫模糊术语集表达专家的评价信息；利用min-upper和max-lower算子集结专家的评价信息，将多粒度的犹豫模糊术语集转化为语义区间数；采用二元语义词计算方法将语义区间数转化为相应的数值区间数；直接取区间数上限、下限的平均值作为TOPSIS方法决策矩阵的元素如表7所示。其中，参考本文案例步骤2得到各个属性的权重值分别为0.200,0.300,0.15,0.050,0.050,0.100,0.100,0.050。最后采用TOPSIS方法计算每个方案的贴近度Si分别为0.346,0.005,0.827,0.255,0.980。根据贴近度的大小进行排序的结果为S5〉S3〉S1〉S4〉S2。通过排序结果可知，两种方法对方案A4的排序位置存在差异，这是因为TOPSIS是一种补偿方法，可以在各个标准之间提供明确的权衡，即允许在各种决定因素之间进行折中，一个因素的不良影响可以用其他因素的良好效应来补偿。而COPRAS是根据决策属性的重要度和效用度进行逐步排序、估计，使得排序结果更加贴近实际。

表7 基于TOPSIS方法的决策矩阵

另外，采用直接取上限、下限平均值的方法将区间形式的决策矩阵转化为数值形式的决策矩阵作为TOPSIS方法的输入，误差较大。而COPRAS方法的输入直接就是区间形式的决策矩阵，更加符合实际决策情境。

4 结束语

本文提出基于犹豫模糊COPRAS的多属性群决策方法，建立线性规划模型获得属性的权重。具有以下特点：

（1）采用犹豫模糊术语集表达专家评价信息，解决了专家在多个语义术语间犹豫不定的问题，利用min-upper和max-lower算子解决了多个专家不一致的评价信息。

（2）以整体方案的满意度最大建立线性规划模型计算属性权重，客观有效地解决了属性权重的确定问题。

（3）采用COPRAS方法计算每种方案的效用度，该方法在评估和排序备选方案的过程中能够考虑到不同方案的重要性和效度，并且计算过程简单透明。

通过对国内某大型国企空调的选购问题的研究分析，表明了本文方法的有效性与可行性。但犹豫模糊术语集中各个语义概率相同，与实际中个别情况不符，进一步的研究将采用概率语义术语集对多属性决策问题进行探讨。