数学知识的教学中何以生成核心素养

沈静

[摘  要] 核心素养是高中数学教学的方向，核心素养的培育不能忽视知识教学，且应当以知识教学为基础，以核心素养培育为主线. “曲线与方程”这一内容的教学中，数形结合是数学思想体现，具体的核心素养培育可以依据数、形分析及关系发现为主线进行，其中涉及数学抽象、逻辑推理、数学建模等过程，可以有效地培育数学学科核心素养.

[关键词] 高中数学;知识教学;核心素养培育

核心素养的提出，并不意味着核心素养培育与原有的知识教学是相矛盾的，因为这里至少有两个逻辑关系不能形成矛盾：一是知识与核心素养不能有矛盾. 如果两者有矛盾，那核心素养必成空中楼阁，且素养原本就不是空洞之物. 拿高中数学来说，当前对数学学科核心素养的描述是从数学建模、数学抽象、逻辑推理等六个方面来描述的，而这六个因素在具体的数学知识构建与应用中，都是客观存在并且是作为教学重点存在的;二是知识教学与核心素养培育不能有矛盾. 核心素养的培育显然也不是空中楼阁，因为没有了知识教学，课堂便无所依存，不教知识而教素养，也是一个显而易见的伪命题.

应当说，形成这两点认识并不是显而易见的，课程改革曾经走过一些弯路，其中又以数学学科为代表，曾经为了思想方法而轻视知识教学的教训，成为今天核心素养培育的有益启示. 那么，这里就面临着一个新的问题：重视知识教学，又如何从知识教学中实现核心素养的培育呢？对此问题的回答，笔者试提出四个观点.

善于发现知识构建过程中的核心素养培育空间

笔者以为，核心素养虽然是一个新的概念，但并不意味着核心素养在数学学科知识中并非不存在，只是在不同的教育教学思想引导下，核心素养的培育彰显程度有所差异而已. 数学是最重要的基础学科之一，高中数学对学生的思维能力的培养作用巨大，很多时候人所具有的理性判断与思考的能力，都得益于高中数学教学. 比如说传统的函数知识教学，特别强调函数与变量的关系，在生活中有许多事物相互影响，它们之间虽然未必完全符合数学角度的函数定义，但一个事物影响另一个事物，总是存在的，带着函数思维（当事者也未必清楚）去思考问题，实际上已经成为人的直觉，这正是“应具备的能够适应终身发展的关键能力”，因而可以视作是核心素养的范畴.

因此，当核心素养明确成为引导基础教育发展的、具有提纲挈领作用的关键教学理念时，我们需要认识到在数学知识当中，在数学知识的教学当中，都存在着核心素养及其培育的空间，教师要做的是以自己的智慧发现这个空间的存在.

例如，“曲线与方程”的教学中，从纯粹的数学知识教学的角度来看，这只是解析几何知识中的一个基本知识，其只是为了让学生在认识到直线的方程、圆的方程以及圆锥曲线的方程的基础上，让学生进一步认识一般的曲线的方程的含义以及如何建立曲线的方程的知识. 因此从知识教学的角度来讲，本知识的教学可以从学生对圆的方程的叙述开始引入，让学生认识到“以C（a，b）为圆心，r为半径的圆的方程是（x-a）2+（y-b）2=r2”的表述，实际上是在告诉我们圆C上的所有点的坐标（x，y），都是方程（x-a）2+（y-b）2=r2的解;而方程（x-a）2+（y-b）2=r2的解为坐标的点都在圆C上.

那如果从核心素养的角度来审视该知识的教学，又可以发现什么呢？笔者通过研究发现：首先，从知识的角度来看，曲线与方程本身实际上分别属于“形”与“数”的，因此学习曲线与方程，必须让学生带着清晰的数形结合的思路去学习，必须让学生认识到曲线与方程的学习，就是在形中发现数的存在，发现数可以精确地描述形;其次，曲线与方程的学习过程中，应当让学生明确在生活中形中蕴数、以数述形的存在，大到天体运行摆脱不了万有引力公式的描述，小到每一个工件的制作，都必须基于数学设计相应的加工程序. 如果在教学中能够通过这种关系的体现来让学生进一步认识数学的魅力，那就会让学生经历数学抽象、逻辑推理、数学建模的过程，因而核心素养也就得到了体现.

所以说，在高中数学教学中，核心素养其实是存在于数学知识当中的，核心素养的培育可以在数学知识的教学中萌芽生长，这样的逻辑关系是数学知识教学中生成核心素养的认识基础.

善于以核心素養的培育来引导数学知识的教学

既然即将或者说必将进入核心素养时代，那包括数学学科在内的课堂教学，必然逐步走向以核心素养培育为主线，以学科知识构建为载体的课堂教学模式. 因此，以核心素养的培育来引导高中数学知识的教学，也应当成为教师专业认识与发展的重要方向.

以核心素养来引导数学知识的教学，除了需要具有核心素养培育的意识之外，还需要做到以下三点：

其一，用核心素养的培育作为教学设计的主线

核心素养成为主线，意味着核心素养概念视域下的关键能力，以及其下位数学学科核心素养概念视域下的数学抽象、逻辑推理、数学建模（数学运算、直观想象、数据分析蕴含三者之中，史宁中教授的判断）将成为教学设计时需要主要考虑的事情.

“曲线与方程”的教学设计中，可以帮学生建立数形结合的前提性认识，这样容易让学生在学习本知识之前形成一个具有“锚定”作用的认识. 这在传统教学中是容易被忽视的，但对学生形成数形结合认识很有帮助的一个环节. 此外，在设计曲线与方程关系的表述教学的时候，教师一定要引导学生结合某一个熟悉的曲线方程的实例，让学生将抽象的语言描述转换成表象中的数形结合，特别是教师在帮学生建立表象的时候，可以借助于表象形成技术，让学生排除周围其他因素的干扰，只在自己的大脑中想象一个情景：某曲线（如圆）上任选一点坐标（x，y），然后将其当作是f（x，y）=0的解，那么将该解转换为坐标时，其应当出现在该曲线之上. 这是一个由数及形、由形及数的教学过程，数形相互描述的过程中，学生获得的是清晰的曲线表象，而方程及坐标存在于该表象当中，曲线与方程就形成一个良好的融合关系，这样就帮学生建立了稳固的曲线与方程的知识.

其二，用核心素养的培育作为教学实施的主线

具体的教学实践中，核心素养应当成为数学课堂上的隐性主线. 关于主线的必要性，上面已经阐述，这里不赘述，而强调主线必须是隐性的，是因为核心素养原本就不是有形之物，无论是说成必备品格与关键能力，还是数学抽象等，归根到底它们都是对某一个具体教学过程的概括性描述，因此在实施的过程中，其应当成为教师的意识并引导教师的教学行为，但它们本身不适宜作为显性的存在.

“曲线与方程”的教学中，教学仍然要以给学生提供曲线与方程的实例为主，要以帮学生理解“方程叫作曲线的方程，曲线叫作方程的曲线”为主. 在形成这一认识的过程中，教师分析数个学生熟悉的例子，再综合它们的共同点，进而用数学语言描述这种共同点，此过程中又当利用逻辑推理来发现曲线与方程的关系，最终形成曲线与方程的统一认识，也就具有了数学模型的意味. 于是，数学抽象（分析与综合、概括等）、逻辑推理、数学建模的过程蕴含其中，学生不必知道这些核心素养的名称，但有这样的过程体验即可. 如此以核心素养主线串起的课堂教学各环节，可以让学生的数学学科核心素养得到培育.

其三，用核心素养的培育作为教学评价的主线

作为一个新事物，带着核心素养培育的预设来判断课堂上的实际与生成，是极有必要的. 评价的主要目的是为了发现教学实际与核心素养培育目标的差距，从而更好地改善后面的教学.

“曲线与方程”的教学中，学生容易出现的问题是难以建立曲线与方程的对应关系，或者建立的关系是僵化的，难以应用的. 这个时候就需要教师给学生的思维加温，让学生的思维软化.办法还是那个：用例子！选学生熟悉的例子来分析，细致分析，一点点地将曲线与方程对应起来，这样学生的理解阶梯多一点，难度就小一点，数形结合的意识形成就会强烈一点，核心素养的培育也就更多地实现了一点.

善于在数学知识应用中感受核心素养存在价值

数学应用原本就是巩固、强化数学知识的，数学学科核心素养是关键能力，而能力顯然是要体现在应用的过程中的;核心素养是必备品格，这也是要体现在运用的过程中的.

“曲线与方程”的应用，可以体现在学生对实际生活中的事物的分析上. 如给出一个圆拱桥的跨度与圆拱高，让学生去建立合适的坐标系，并求出圆拱的方程. 这是最直接的运用，也是将抽象的数学知识转化为形象的实物图景当中的努力. 建立坐标系的选择是多元的，哪个最好这涉及对多种选择的优化，学生的选择多以圆拱的圆心放在y轴上，并将圆拱所在的弦作为x轴，于是坐标系形成.在学生的这一选择基础上教师可以提问：有无其他建立坐标系的思路？于是一题多析、多解就打开了学生的思维空间……如此应用，核心素养是可以形成的.

总之，高中数学教学中，核心素养的培育当以知识教学为基础，以核心素养培育为主线，这是较为现实的选择.