关注建模过程 提高简算能力

沈静

摘  要：乘法分配律在小学阶段是最重要、最难学、应用最广泛的知识点。针对学生在综合运用运算律进行简算时出现的种种问题，努力尝试通过各类课型，引导学生从具体的认知开始，从呈现模型—促进模型—提高巩固模型，不断递进，深入理解分配律的本质意义，化解分配律的难点，抓住简算的根本是转化原则，促进运算律对计算方法的“熟能生巧”，有效提高学生灵活选择运算律进行简算的能力，树立系统教学理念，训练学生思维的结构化，有助于发展学生的数学核心素养。

关键词：建立模型;变形;整合;思维训练;核心素养

运算律的运用是整个小学阶段最重要的计算内容，苏教版教材从四年级下册开始引入，采用不完全归纳法，让学生经历“计算—观察—总结—验证—运用”的学习过程，引出规律。这样的教学流程在学习单一的加法和乘法的交换结合律的时候，一般不会暴露由此引出的认识的局限性，学生看似学得很扎实，但当学习乘法分配律后，在选择合适的方法进行简算或者应用分配律解决变化形式多、结构稍复杂、较为隐秘的变式时（如25×48，64×99+64，64×99或85×101-85，85×101，75+25×97等），学生对这类戴着面具的算式便束手无策，不能合理、灵活地进行计算。究其原因，一是学生受到前期应用交换结合律时凑整思想的思维干扰，二是机械识记了乘法分配律的外形，而没有真正理解乘法分配律的本质意义，缺乏必要的观察数据和结构特征的能力以及创造简算条件的转化意识 [1]。

针对以上问题，基于长期任教中高年级的经验及探索，笔者认为，在平时的教学中需要通过各类课型，帮助学生递进深入理解乘法分配律的本质内涵，化解分配律的难点，培养学生的简算意识，促进运算律对计算方法的“熟能生巧”，有效提高学生合理、灵活计算的能力 [1]。

一、新授课注重分配律的内涵，真正理解意义和算理，呈现模型

新授课上，在学生通过教材常规得出运算律后，可以拓展追问：你能用以前学过的知识来解释这一特殊的规律吗？让学生从旧知中寻找依据，明确这一等式并非随意的组合，而是客观现实中的必然规律，从意义上去真正理解乘法分配律。

1. 用数形结合支撑乘法分配律：理清“分配”的意义，突破“相同乘数”的结构特点，利用几何直观，从图形面积的计算角度发现（如图1），不管是分开计算还是整体计算，结果是一样的，深入理解18×15+12×15和（18+12）×15这两个算式相等，直观地再现了分配律的意义。经过几组这样的练习（补充习题第48页第1题），让学生看图，借助丰富的直观表象理解得出等式，在理解算理的基础上发现此运算律是成立的，避免从形式上的机械记忆。

2. 从乘法意义的角度深入理解分配律的内涵。如图2，抛开图形，直接根据乘法的意义来说明，“20个3加上1个3等于（20+1）个3，即21个3”，相同的因数无论放在乘号前还是乘号后，乘法分配律的等价转换结构形式都是成立的。

3. 从解题的角度，利用行程问题的数量关系来促进理解。适当调整教学顺序（把例7和例6交换教学顺序），借助线段图分析数量关系，理解并比较和（差）乘某数（如图3）与两积之和（差）（如图4）这两种不同解题思路之间的联系，体会在现实问题的应用中，乘法分配律的两种基本结构形式存在的合理性和科学性，促进乘法分配律的模型结构思想的建立 [2]。

如此，在初步理解分配律意义的基础上，再通过以上方法，运用数形结合的数学思想方法，从不同角度、不同深度理解分配律，沟通了知识之间的内在联系，唤醒学生的已有经验，做到算理先行，有效理解乘法分配律的内涵，建立乘法分配律结构和意义上的相融，以便更好地建构乘法分配律的数学模型。

二、拓展课注重乘法分配律的外形基本结构和数据特点，促进建模

在应用乘法分配律进行简算初期，计算积与某数相加减时（如97×25+75或75+25×97），学生往往受乘法结合律的影响或凑整思想的误导，违背运算顺序，先计算两个数的和 [2]。针对这类错误，我们在拓展课教學过程中更要重视对乘法分配律的外形数据特点和结构特点的分析与解读，强化学生的结构意识，明确乘法分配律只有“和（差）乘某数”和“两积之和（差）”这两种基本结构形式。在清晰结构的基础上，再引出对数据特征的研究：前一种结构形式中的某数一定是后一种结构形式中的两积中的其中一个因数，由此展开分析，明确以下两类也属于乘法分配律的基本结构范畴，使学生对乘法分配律有更清晰更深刻的认识，并在后续的拓展应用时能自如把握复杂变式的类型，驾轻就熟，解决问题 [3]。

1. 位置变化的拓展：以一般字母表达式（a+b）×c=a×c+b×c为基本式展开分析，如变化为c×（a+b）=c×a+c×b，即“某数乘和”，这是在乘法分配律中应用乘法交换律的位置变化的拓展，虽然这样的变化较为简单，但也属于乘法分配律的基本形式。

2. 同级运算的推广：可以应用教材第67页的第16题：“算一算下面每组的两道算式是否相等，再说说你有什么发现。32×（30-2）○32×30-32×2”，引导学生结合乘法的意义解释两道算式相等的道理，并说明：两数之和乘某数的结构形式也可以为两数之差乘某数，其属于乘法分配律的基本推广形式 [3]。

除了以上两种情况外，高年级还有项数的拓展：将两数之和（差）乘某数拓展到若干数之和（差）乘某数，而若干数之和（差）乘某数等于若干积之和（差），这是增加项数的变化。

通过以上对乘法分配律结构和数据这两大特征的理解分析与拓展，调动学生对题目整体结构及数据的观察思考，引导学生善于从计算的简洁性出发，灵活地选择两种基本结构形式进行变换训练（变形操作），帮助学生进一步建立乘法分配律的模型结构思想，体验简算的乐趣，这才是训练学生计算技能，培养学生简算意识的重要途径。

三、练习课注重乘法分配律的非标准结构形式的训练，提高建模

俞正强老师说：运算律首先来自计算，来自对算法的改造与变形，它是通过观察特征，如数字特征、运算符号等来帮助人们简算的。运用乘法分配律简算之所以复杂，就在于有些算式的呈现并不符合乘法分配律的标准结构形式，这使得学生在应用乘法分配律时，对需要转个弯才能简算的题型缺乏必要的改造转化思想，不能为计算创造简算的条件。这就需要教者在练习课的教学中充分调动学生对题目整体结构及数据的观察、思考，引导学生把握这些变式类型，将等式变形为乘法分配律的基本结构形式中的某一种，化难为易。

1. 某数与接近整百数的数相乘的算式。教材例6：“象棋的单价是32元，围棋的单价58元，王老师买102副中国象棋，一共要付多少元？”按照“算理先行，理到法随”的原则，由学生口算的过程先算100副象棋的价格，再加2副象棋的价格就是102副象棋的总价，由此总结得出：当出现两数相乘且其中一个乘数接近整百数的时候，我们可以变数102为式（100+2），把其中的一个乘数变成和或差的形式，使得结构上符合乘法分配律的基本结构形式——“和乘某数”，再变形成另一种结构形式——“两积之和”，进行简算。以上由非标准的简算试题引入，启发学生发现隐藏的简算条件，这样的引导，抓住了学生的“症结”，利用转化的思想，体验运用乘法分配律进行计算的简便。以后学生面对这类简算特征并不明显的题目时，往往都能根据结构和数据特征，从转化的思想出发，转化成基本结构形式，并选择合适的计算方法，进一步提升学生的简算意识和能力。

2. 积加（减）某数或某数加（减）积的算式。这类题型，教材没有给出例题进行专门的教学，学生往往不容易解决，且常常和乘法结合律发生混淆。比如：43+43×99，48×101-48，从题面上看，简算特征并不明显，不符合乘法分配律的两种基本结构形式中的某一种，但我们可以仔细观察，比较接近积加（减）积的结构形式。有例5“四年级有6个班，五年级有4个班，每个班领24根跳绳。四、五年级一共要领多少根跳绳？”的教学铺垫，有扎实的基础知识的积淀，学生已初步具有敏锐的观察力和综合分析能力及转化意识，把某数变数为式，转化成基本结构形式再进行简算。那么，如45×102-90或97×125+375或75+25×97这样的类型便不会受到凑整思想的影响，违反运算顺序先算加法了。

3. 积加（减）积的算式。如第76页思考题999×8+111×28，符合乘法分配律的运算结构特征，但数字特征并不明显，观察到999和111的倍数关系，利用积不变的规律，以式换式，将999×8等量转化为111×72，这样“+”号两边的乘法算式也被明显关联起来了，即都是关于111的，符合乘法分配律的“积+积”的运算结构形式，进而再变形成另一种结构形式，便可使计算简便。还可以追问：这里还有其他的等积转化方式吗？经过长期训练，学生能自觉观察两个算式中的乘数特征，找到联系，进而通过转化找到两个乘法算式中相同的乘数再简算，体验到正确运用运算定律能有效提高计算的正确性所带来的喜悦。

以上是教材出现的三种转化应用，在练习过程中，首先明确无论题目怎么变化，只要通过变数为式或变式为式的方式进行变形，就能转化成乘法分配律两种基本结构形式中的一种，再看是否要二次使用乘法分配律;其次，要运用乘法分配律进行简算，必须符合两个条件：有相同因数;相同因数的个数能进行凑整。应用转化思想，就一定能找到乘法分配律（包括其他运算律）的基本结构形式。学生在讲和练互动学习的过程中把握了乘法分配律的本质内涵，在简便计算及解决问题时“以不变应万变”，不断将知识重组整合，形成知识的线状结构体系，进一步建构了乘法分配律的数学模型，并运用模型顺利解决了现实问题。

四、复习课注重知识的整合与系统性，巩固建模

在教学中，我们经常会觉得每一堂课都扎扎实实教了，学生也觉得掌握了，但面对综合类题目的时候学生却束手无策。究其原因，就是学生缺乏解决问题的知识模块化，他们学习新知的初期，在头脑中呈现的是点线状的知识，还没有形成内在的逻辑体系。运算律的知识之间是密切相关的，在复习课的教学中我们要整体设计，在五个运算律学完之后，连同练习中出现的除法和减法的性质结构进行整体的梳理复习（如图5），引导学生不仅对乘法分配律的外形结构和数据进行分析解构，还要及时联系已学的加法和乘法的交换结合律，将乘法分配律纳入运算律的知识体系中，整合认知结构，帮助学生找到解答同类问题的内在逻辑性，将点线状零散的知识系统化，形成网状结构知识体系，深化巩固乘法分配律的数学模型。

在应用运算律进行简便计算的复习课中设计以下问题：（1）是同级运算还是不同级的运算？（2）所有的同级简算其实只需要根据数据的特点进行什么操作？（换位、加或去括号）（3）加（去）括号的时候要注意什么？（括号前面是减号或除号，去括号的时候，里面的符号要变号）（4）不同级的运算律只有哪个运算律？（5）如果是乘法分配律，根据数据的特点，如果需要转化成另一种结构形式，要进行什么操作？（变形）（6）如果遇上非标准的结构形式，第一步应该怎样将哪个数变数为式或将哪个算式变式为式？把以上问题反复抛給学生，让他们联系已获得的新知，应用相应的方法去探索。前期的新授犹如西医，头痛医头，脚痛医脚，有针对性，见效快，后期的练习课和复习课犹如中医，需要讲究全身的调理、整体的诊断和理疗。教师在帮助学生整理知识的过程中，对这类运算律条理化、有序化，再总结提炼，培养学生由此及彼的推理能力，让他们感受到知识的发生和发展规律，那么，如25×48的这类题型，学生便能自觉运用不同的运算定律，获得不同的拆分方法（如图6），进而得到简算的快乐体验。

25×48

=25×（4×12）→变数为式

=25×4×12→去括号

=100×12

=1200

25×48

=25×（40+8）→变数为式

=25×40+25×8→变形

=100×200

=1200

乘法分配律在小学阶段是最重要、最难学、应用最广泛的知识点，如能在初学阶段通过以上各类课型，引导学生从具体的认知开始，从呈现模型—促进模型—提高巩固模型，不断递进深入理解分配律的本质意义，化解分配律的难点，抓住简算的根本是转化原则，培养学生的简算意识，不但有助于学生加深对四则运算意义和计算方法的理解，更能有效提高学生灵活选择运算律进行简算的能力，有助于发展学生的数学核心素养，同时也为学生以后学习和探索有关小数、分数的简便计算奠定了坚实的基础。比如，五、六年级时，小数、分数的计算实践中甚至还会出现新的变式，增加简算难度，如小数计算中的小数点的变化：31.2+3.12×90;分数乘除法中，对乘除法的互逆变换：18÷+82×等。直到中学阶段的有理数、实数的运算，乘法分配律都有着不可估量的作用。

参考文献：

[1]  俞正强，邵晓燕. 追寻厚实、朴实的课堂教学——“乘法分配律”研课历程[J]. 小学教学（数学版），2013（z1）：52-54.

[2]  俞军. 借助几何直观  促进有效建模——以“乘法分配律”一课为例[J]. 小学数学教师，2015（6）.

[3]  王文英. 结构入手  认识规律——从“乘法分配律”的教学谈起[J]. 小学数学教师，2014（3）.