让元认知提问“恰触”知识生长点

廖月屏

元认知由美国心理学家J.H.弗拉维尔首次提出，指的是对认知的认知.比如学生在学习活动中，一方面进行着各种认知活动（感知、记忆、思维等），另一方面又要对自己的各种认知活动进行积极的监控和调节——这种对自己的感知、记忆、思维等认知活动本身的再感知、再记忆、再思维就是元认知.笔者所谓元认知提问，指的是教师的问题提示语是导向学生元认知的一种提问方式，旨在引导学生对自己的认知过程进行监控、调节，进而引导学生认知过程的自主发展.通常情况下，教师的问题提示语所发出的暗示离目标越远，暗示就越隐蔽，元认知成分就越多;离目标越近，暗示就越明了，元认知成分就越少.而问题提示语中的暗示究竟离目标有多远才好，应视学生的学习思辨能力而定，关键是要恰好触到学生的知识生长点.毫无疑义，在整个基础教育阶段，高中生的思辨能力是相对成熟的.

有一次，笔者上完“双曲线及其标准方程”后，让学生比较一下椭圆与双曲线在定义上的区别.此时的学生已经模糊感觉到了两个知识点之间的内在联系，但未知教师究竟为何“多此一举”.

生1：椭圆的定义是，在平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点M（x，y）的轨迹;双曲线的定义是，在平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点M（x，y）的轨迹.

师：那么，通过对椭圆定义和双曲线定义的分析，同学们觉得还可以探究什么相关的问题吗？

笔者此时的提问没有“影射”任何具体知识，可以说是一个离目标较远的暗示.此时学生无人应答，有的在动笔写画，有的在动脑筋思考.于是笔者耐心等待.

生2：我想定义在平面内与两个定点F1，F2的距离的商等于正常数e的点M（x，y）的轨迹.

师：为什么要定义“商”？

生2：前面已经有了和与差，还没有商呢.

师：那么，你认为满足条件的点的轨迹会是什么图形呢？能说出理由吗？

生2：直线和圆.

教师请学生到黑板上写下证明过程.生证明如下：

设动点M（x，y），定点F1（-c，0），F2（c，0），则

[| MF1 || MF2 |=（x+c）2+y2（x-c）2+y2= ][e（e>0） ].

两边平方，得

[（x+c）2+y2=][e2[（x-c）2+y2]].

整理，得

[x2][+2cx+c2][+y2=][e2（x2-2cx+c2+][y2）] .

再整理，得

[（1-e2）x2+（1-e2）y2+][（2c+2ce2）x]

[+c2（1-e2）=0].  ①

（1）當[e2=1]时，上式①可以化为[4cx=0].

[∵F1][，][F2]是两个不同的点，[∴c≠0]，则[x=0].

此时动点轨迹为直线[x=0].

（2）当[e2≠1]时，式子①两边同除以[1-e2]，得

[x2+2c+2ce21-e2x+y2+c2=0]，

[（ x  + c+ce21-  e2 ）2  +  y2= （ 2ce1-e2 ）2  ，][（ e>0，e≠1 ）]

所以动点M（x，y）的轨迹为圆，圆心为[（-c+ce21-e2，0 ）]，半径是[r=][2ce1-e2].

师：通过类比椭圆的定义，双曲线的定义，联想到给在平面内与两个定点的距离的商定义，好极了！大家还能研究什么呢？

生3：在平面内动点[M（x，y）]到两个定点[A（a，b）]，[B（c，d）]的距离之商为常数e，求M的轨迹.

师：有结论了吗？

生3：圆.

师：为什么？

生3：推导到一半……太繁杂了，我感觉是圆.

台下多数学生忍不住笑.很多学生停下笔，估计有相当多学生因有同感已半途而废.的确，推导这个结论的式子太长、字母过多.

师：好吧，那就跟老师一起分析吧……（过程略）

教师接过难活，学生乐得观摩、倾听，此时学生的注意力高度集中.

新课改倡导学生是学习的主体，教师要从关注知识教学向关注学生学科核心素养的培育和发展转变.笔者寻思，兴趣很重要，教会学生自己学更重要.可是关键的问题是，教师一定要清楚学生新知识的生长点在哪里.今天所学新知的生长点在何处？这个生长点是否已经真正植入了学生的头脑当中？此时此刻学生的头脑中究竟有没有这个生长点？如果没有，便需要教师像奥苏伯尔所说的那样，先将生长点植入学生的头脑里，再让学生的新知识从这个生长点上慢慢“生长”起来.在以上教学片段中，这个知识生长点便是平面内一个动点与两个定点之间的距离的不同关系：让提问“恰触”知识生长点，可以让学生的学习更加高效.

（责编 白聪敏）