弹道导弹突防效能评估的马尔科夫模型*

齐长兴，毕义明，李 勇

（火箭军工程大学，西安 710025）

0 引言

弹道导弹具有杀伤力巨大、突防能力强、难以防御等特点，是现代战争中能够发挥决定性作用的杀手锏武器。为了防御弹道导弹的威胁，美国、俄罗斯、以色列等军事强国都在积极研究和部署弹道导弹防御系统。其中，美国的弹道导弹防御系统（BMDS）是比较成熟的，已经形成了由中段拦截系统和末段拦截系统构成的多层弹道导弹防御体系［1-3］。

弹道导弹突防作战效能评估是当前研究的一个重要方向，通过突防效能评估可以有效支撑弹道导弹研制和改良。目前，国内外对导弹突防效能评估研究已经取得了较大的进展，见文献［4-14］。

弹道导弹攻防作战中，存在许多随机现象，导弹突防时的一些随机现象无法很好地表现出来。本文综合考虑弹道导弹突防作战时面临的弹道导弹防御系统多层拦截的现状，在进行上一层防御系统效能评估的基础上，再进行下一层的突防效能评估。导弹在突防每一层导弹防御系统时均为独立过程，同时弹道导弹突防时突防状态具有随机性和无后效性等特点，经过相邻两层防御系统间的突防过程近似为马尔科夫过程，可以用马尔科夫理论进行多层防御系统的突防效能评估［15］。本文将马尔科夫链转移概率引入突防多层弹道导弹防御系统时导弹突防效能评估中，构建基于马尔科夫链的导弹突防效能评估模型，用马尔科夫链描述弹道导弹突防多层防御系统的作战过程，突破一层防御系统后的状态之间用状态转移概率进行关联。通过实例进行验证，该方法既可以反映弹道导弹突防的突防概率和期望值，也可以反映不同状态的概率分布。

1 弹道导弹突防效能评估的马尔科夫链模型

分层防御是针对弹道导弹的飞行阶段特点，采用多层拦截模式，使弹道导弹在飞行过程中面临多重风险。对于多个独立的防御系统，构成的分层防御体系，能够通过多次拦截实现高的拦截效能。分层防御中的“层”指可以进行独立“观察-射击”的组成部分，每层有一枚或多枚拦截弹可拦截来袭目标。

为便于建模分析，在弹道导弹突防效能评估马尔科夫链模型中需要进行以下假设：

1）每个交战过程都是独立进行的；

2）每次拦截过程都是相互独立的；

3）在弹道导弹防御系统的每个层之间没有进行交互干涉；

4）支持子系统可以满足防御需求。

1.1 基本马尔科夫链模型

马尔科夫链模型［16］可以表示为一个二元组：。

I是所有可能状态的集合，用Ii、Ij表示系统的状态；P是系统状态转移矩阵，对有限状态空间，其一步状态转移概率矩阵如下：

在状态空间有限的情况下，n步状态转移概率矩阵 P（n）为：

1.2 单枚导弹突防多层防御系统马尔科夫链模型

在弹道导弹突防过程中，每一次的交战过程都可看作是一次伯努利试验，多个交战过程构成了一次突防，一个导弹防御层中所有的突防形成了一个马尔科夫转移矩阵，整个导弹突防过程是一个独立时间马尔科夫过程。

弹道导弹攻防模型中导弹的状态用导弹突防数量表示，马尔科夫攻防模型中所有来袭向量均为随机概率向量，用以表示数量或状态的概率分布，在进行模型求解时需要确定弹道导弹攻防对抗的初始状态向量。

以一枚导弹突防两层导弹防御体系为例，每一层防御系统仅一枚拦截弹对一个目标进行拦截，导弹突防马尔科夫过程如图1所示。

图1 简单多层防御马尔科夫链模型示意图

弹道导弹的状态用成功突防后的数量表示，对单个目标，其可能的状态分别为0、1，“0”表示不是威胁的状态，“1”表示目标存活状态（威胁），因此，其状态变换共有3种情况，分别是0→0，1→0，1→1，其中，1→0表示来袭目标被拦截，1→1表示来袭目标未被拦截。

状态转移概率由拦截弹的单枚毁伤概率pi决定，且单枚导弹的生存概率qi=1-pi。

1.3 多枚导弹突防多层防御系统马尔科夫链模型

多枚导弹突防导弹防御系统时，弹道导弹最大来袭数量为n枚，来袭导弹数为r时，通过i层导弹防御系统后有c枚成功突防的概率为prc，服从二项分布，其拦截矩阵为一个下三角矩型阵。

多枚导弹突防导弹防御系统时，第i层防御系统的拦截矩阵为：

1.4 诱饵掩护下，导弹突防效能分析

多枚导弹突防导弹防御系统时，弹道导弹最大来袭数量为n枚，来袭导弹数为r时，包含j个诱饵时，通过i层导弹防御系统后有c枚成功突防的概率为prc，服从二项分布，其拦截矩阵为一个下三角矩型阵。

弹道导弹突防过程中往往会伴随着诱饵等假目标，如导弹防御系统不能准确识别目标的真假，将会提高导弹的突防成功率。在导弹防御系统进行目标识别时，共有4种情况：弹头被准确识别为弹头；弹头被识别为诱饵；诱饵被识别为弹头；诱饵被识别为诱饵。

在诱饵掩护作用下，导弹突防矩阵应综合考虑弹头被识别为诱饵的矩阵Dww，和转移概率矩阵Aw，考虑到诱饵作用和识别误差影响。r枚弹头中成功突防c枚的概率prc依赖于两个独立事件。

事件1：r枚弹头中有j枚被识别为诱饵，因而未被导弹防御系统拦截，能够成功突防；

事件2：被拦截的弹头中，有c-j枚弹头成功突防。

以上两种情况发生的概率为：

式中，pwd为弹头识别为诱饵的概率，pww为弹头被识别为弹头的概率。

其中，fd为射击准则。则r枚弹头中成功突防c枚的概率prc为：

多枚导弹突防导弹防御系统时，第i层防御系统的拦截矩阵为：

2 弹道导弹突防效能评估案例分析

本文以弹道导弹突防双层弹道导弹防御系统为例，采用建立的模型进行弹道导弹突防效能评估，为了便于计算进行一下假设：每次拦截时，拦截策略为每枚拦截弹拦截一枚来袭导弹（弹头），不存在拦截弹数量不足的问题。

案例1：突防弹头10枚，诱饵0，弹头准确识别概率1，第1层单发拦截概率0.8，第2层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1。成功突防的弹头的概率分布如表1所示。

案例2：突防弹头10枚，诱饵10，弹头准确识别概率0.9，弹头识别为诱饵概率0.1，诱饵识别为弹头的概率0.1，第1层单发拦截概率0.8，第2层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，成功突防的弹头概率分布如表2所示。

案例3：不同来袭弹头数时，至少一枚成功突防（无诱饵干扰）。

突防弹头n枚，诱饵0，弹头准确识别概率1，各层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，至少一枚成功突防的概率分布如表3所示，突防弹头期望值如表4所示。

案例4：不同来袭弹头数时，至少一枚成功突防（有诱饵干扰）。

突防弹头n枚，诱饵10，弹头准确识别概率0.9，各层单发拦截概率0.8，射击准则1拦1，至少一枚成功突防的概率分布如表5所示，突防弹头期望值如表6所示。

弹头通过导弹防御系统后突防成功的弹头分布概率对比图见下页图2～图4所示。

表1 成功突防的弹头概率分布

表2 成功突防的弹头概率分布

表3 至少一枚成功突防的概率

表4 多枚来袭弹头时成功突防弹头期望值

表5 至少一枚成功突防的概率

表6 多枚来袭弹头时成功突防弹头期望值

图2 成功突防的弹头概率分布图

至少一枚弹头成功突防的概率对比图：

图3 成功突防的弹头概率分布图

图4 突防弹头期望值

在案例1和案例2中，当进攻弹头经过弹道导弹防御系统双层防御后，弹头突防概率迅速降低，弹道导弹突防多层防御时面临严峻的威胁。在考虑诱饵干扰作用后，进攻弹头全部被拦截的概率降低，且突防概率分布曲线整体向右移动，弹头突防效能整体提升，与实际情况相符。

案例3和案例4中，当进攻弹头数量变化时，对至少有一枚弹头成功突防的概率和平均突防弹头数（期望值）进行对比分析，随着弹头数量的增加，至少一枚弹头成功突防的概率增加，且有诱饵干扰的作用下突防概率和期望值均高于无诱饵干扰时，突防效果更好，说明通过进行诱饵干扰可以提高弹道导弹的突防成功率。

3 结论

弹道导弹的自身性能是影响其突防能力的主要因素，此外，进攻导弹的突防战术运用，弹道导弹防御系统的拦截能力、拦截策略等对弹道导弹突防效能有明显的影响。

本文通过建立弹道导弹突防多层弹道导弹防御系统的马尔科夫模型，进行弹道导弹突防效能评估，通过分析表明，该模型应用简单，可以有效地对突防多层弹道导弹防御系统的导弹突防效能进行评估，为弹道导弹突防作战决策提供理论支持。但是模型构建时，对一些因素进行了简化，下一步还需要对模型进行进一步地完善，综合考虑各方面的因素影响。