幂级数在函数领域的应用

赵青波

摘要：幂级数是数学领域中的一种基础知识，同时也是数学计算中的一种重要“工具”，其在函数领域中有着较为广泛的应用，如在复变函数等领域中。幂级数在函数领域中的应用决定了其在函数计算等过程中的重要性，一般来说，运用幂级数求函数的高阶导数、求数值级数的和、应用在近似计算中、应用在微分方程的解法、。在数学解题过程中，通过把握幂级数在函数应用中的关键点，也能够起到事半功倍的作用，本论文通过分析幂级数在函数中具体应用的基础上，阐述幂级数在函数中应用的关键点，以此来多方位的展示出幂级数的在函数中的应用。

关键词：幂级数;函数;应用

引言幂级数在函数中的应用是数学计算中解决函数问题的一种有效思路，同时也能够为函数类型题的计算提供一种“捷径”，通过对幂级数的性质进行分析，能够观察到，幂级数与函数之间存在着关联性，这也是幂级数作为函数解题“工具”的基础。如幂级数是函数函数项级数中最基本的一类，在幂级数的收敛域上与函数之间存在的明确的关联性，在收敛域上函数项级数的和是x的函数，称为函数项级数的和函数。本文通过对幂级数概念与性质的阐述，结合具体的解题思路，对幂级数与函数的应用进行分析。

一、幂级数概述

幂级数是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。以幂级数常见的三个性质为例，以下进行阐述。

1.∑ an xn 在 | x | < R 内绝对收敛，在 | x | > R内 发 散，其 中 R 称  n=a 为收 敛半 径，此时再根据Hadamard 公式进行相应计算。

2.如果函数S（x）是收敛域（-a，a）上的连续函数，则S（x）在x=a左连续。

3.在收敛半径（-a，a）的范围内，幂级数可以任意次逐项求导或者求和，并且产生的新的幂级数的收敛半径不变。

二、幂级数在函数中的具体应用

（一）利用幂级数求函数的高阶导数

在常规数学计算中，将幂级数运用到求函数的高阶导数中，不仅能够降低计算的复杂性，也能够提高计算结果的准确性。以下，本论文将这种应用分为三步进行阐述。

首先，需要使用幂级数展开的方法，并将其展开到指定点处的幂级数，这是应用的前提。其次，计算幂级数展开式的收敛域，这直接关系着后面的计算。

最后，需要使用泰勒级数的理念进行幂级数的计算，即一个函数在指定点处的幂级数展开式，具有唯一性，幂级数相等情况下，x-x0次数相同的项，其系数也是相等的。

详细如下：

（二）利用幂级数求数值级数的和

在数值级数的和的计算的过程中，幂级数也有着自身的应用性，在该计算中，应用幂级数往往能够提高计算的效率，以下，本论文将其具体分为三个步骤。

首先，需要将常值级数转化为幂级数，把其中的n次方項转化为xn，以此来构成幂级数，这是应用幂级数的前提条件。

其次，需要对构成的幂级数进行求解，将其收敛域与函数计算出来。

最后，借用幂级数的特性，幂级数收敛域中所组成的常值级数之和，与和函数在这个点中的函数值是相等的。

（三）幂级数在近似计算中的应用

根据幂级数的特性，在函数的幂级数收敛域中的点上，相应的函数值，其近似值可以用收敛域中的点的幂级数所对应的常值级数的部分和近似，这也可以保证预期的准确度。

幂级数应用在近似计算中，有着自身的前提，即函数要能够展开成幂级数，如果能够符合这个前提，则该应用就充分成立，符合以下推论：f（x）=a0+a1x+a2x2+a3x3+...+ahxh+...（-R

（四）微分方程的幂级数解法

f（ x） 的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算 f（ x） 的定积分就遇到了困难，现在，可以利用幂级数取有限项的办法近似计算这些定积分的值.我们在计算积分时，当具体要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分限必须在幂级数的收敛域之内，然后利用逐项积分来计算所求定积分的值。以下，本论文将这种应用分为四个步骤进行阐述：

首先，设微分方程的解函数为幂级数。

其次，解函数的幂级数表达式代入微分方程，化简、合并等式两端的同次项。

再次，比较等式两端同次项的系数，得到所设幂级数的系数表达式。

最后，对于得到的幂级数，能够求出和函数的，则和函数即为微分方程解的初等函数表达式;对于无法用初等函数描述的幂级数，则可以用其部分和作为微分方程的近似解。

三、幂级数在函数应用中的关键

（一）函数展开为幂级数的可能思路

常用的基本思想与方法为：借助级数的数乘、加减运算法则、逐项可导、逐项可积的微分性质，将函数变换成已知幂级数展开式及收敛域的函数描述形式，然后借助运算性质写出幂级数. 该方法也称为函数展开成幂级数的间接法. 另外也基于函数在指定点处幂级数的唯一性，通过待定系数的方法求幂级数的系数，从而得到最终的幂级数展开式。

（1） 所求函数→变换为容易写出幂级数的函数加减乘形式→对函数执行加减、求导、求积→已有幂级数展开式的函数→对函数及幂级数进行逆运算→所求函数的幂级数。

（2） 已有幂级数的展开式的函数→函数求导、求积分及幂级数展开式逐项求导、求积分→所求函数的幂级数展开式。

（3） 直接求各阶导数，借助泰勒级数公式直接写出相应的幂级数表达式

一般来说，函数展开为幂级数有两种思路，即直接展开法和间接展开法，以下进行详述：

①直接展开法：