从一道高考题设计的合理性谈牵连物体间的关系

邵 永

(安徽省砀山中学,安徽 砀山 235300)

1 引言

高三复习既要针对学生的实际和教材的重点,复习和巩固已学的基础知识,又要培养和提高学生领会运用已学知识的基本技能,发展学生的逻辑思维能力和创新能力,因此上好复习课对提高教学质量是十分重要的．在高三复习中选择、设计习题是上好课的关键,而高考试题是经命题专家反复论证过的,浓缩了众多专家的智慧,能起到很好的引领作用．因此我们在教学中要从深层次剖析高考的命题立意,明确其立意、探知其内涵、感悟其发展,从一个问题引申到一类问题,让学生在不断的探究中感悟知识、建构网络,更要把握通性通法对教学内容、教学方法、教学理念等进行“整合”．牵连运动是运动合成与分解中的难点,尤其是牵连加速的关系,下面从一道高考题设计的合理性谈牵连物体间的关系．

2 高考试题及解析

图1

题目.(2018年江苏高考题)如图1所示,钉子A、B相距5l,处于同一高度.细线的一端系有质量为M的小物块,另一端绕过A固定于B.质量为m的小球固定在细线上C点,B、C间的线长为3l.用手竖直向下拉住小球,使小球和物块都静止,此时BC与水平方向的夹角为53°.松手后,小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为0,然后向下运动.忽略一切摩擦,重力加速度为g,取sin53°=0.8,cos53°=0.6.求

(1) 小球受到手的拉力大小F;

(2) 物块和小球的质量之比M∶m;

(3) 小球向下运动到最低点时,物块M所受的拉力大小T．

解析:(1) 设小球受AC、BC的拉力分别为F1、F2,有

F1sin53°=F2cos53°,

F+mg=F1cos53°+F2sin53°,

且F1=Mg,联立以上各式解得

(3) 根据机械能守恒定律,小球回到起始点时速度恰好为0．设此时AC方向的加速度大小为a,重物受到的拉力为T,对小物块使用牛顿运动定律得Mg-T=Ma, 小球受AC的拉力T′=T,由小球使用牛顿运动定律得T′-mgcos53°=ma,联立以上各式解得

3 高考试题的引领作用

从提供的高考试题答案中可以看出，在第(3)问中对于绳上拉力的计算使用了两个物体沿绳的加速度是等大的．高考试题的命制是经命题专家反复论证过的,浓缩了众多专家的智慧,往往是从一个问题引申到一类问题,起到很好的引领作用．由于在牵连运动中力的分解形式和运动的分解形式不同,而且两物体沿绳的加速度经常是不等的,所以专家们出这道高考题的目的不是要求记住遇到这种形式就按这种方式进行分解,而是要全面分析牵连运动中牵连物体之间的速度关系和加速度关系,是通性通法对教学内容、教学方法、教学理念等进行的一次“整合”,做到探知其内涵、感悟其发展．下面通过一道几乎所有高三复习资料中都有的题目逐步进行分析．

4 牵连速度的关系

图2

题目.如图2所示,某人沿水平地面以速度v向左做匀速直线运动,利用跨过定滑轮的轻绳将一物体A沿竖直方向放下,在此过程中,下列结论正确的是

(A) 人的速度和物体A的速度大小相等.

(B) 物体A做匀变速直线运动.

(C) 物体A的加速度不断减小.

(D) 细绳对A的拉力大于重力,且逐渐增大.

由于在牵连运动中运动的分解形式和以前所学的力的分解形式不同,学生往往不太理解,只是机械记住把人的运动分解成沿绳的运动和垂直于绳的运动,这不是教育的真正目的．下面通过3种方式分析牵连运动中物体之间速度的关系．

4.1 按运动效果分解

图3

合运动与分运动是效果上的等效替代,由于人实际是沿水平运动的,水平速度v是合速度．如图3所示,当人向前运动一段距离可以看出发生了两个方面的变化:右边绳子变短了,绳子与竖直方向的夹角变小了,所以可以把人的运动分解成沿绳的运动和垂直于绳的运动．设绳子与水平方向的夹角为α,所以vA=vcosα．

4.2 微元法的应用

图4

如图4所示,人在非常短的时间内向前运动了一小段距离,以绳子上端点为圆心,后来的绳长为半径画圆,连接圆与绳的两个交点．由于t很短,所以图中实线和虚线之间夹角很小,因此下侧的三角形可看成直角三角形．由于右边绳子变短了vAt,人向前走了vt,所以有vAt=vtcosα,因此vA=vcosα．

4.3 能量守恒规律的应用

由于功是能量转化的量度,轻绳是不计质量的,所以绳子只是在做功中起到桥梁和纽带的作用,即作用在绳两端的功是等大的．设绳上拉力为T,如图2所示,有TvA=Tvcosα,所以vA=vcosα．

由以上多角度分析均得到vA=vcosα,由于人是匀速运动的,α角不断变大,所以vA不断变小,可知上题中(A)不对,而且可以看出两物体沿绳的加速度并不相等,所以上述高考题中按沿绳的加速度相等求解并不具有通性,那么上题中(B)、(C)、(D)哪个正确,沿绳的加速度间到底是怎样的关系呢?

5 牵连加速度的关系

5.1 极限分析法的应用

假设物体是从无穷远处运动过来的,在无穷远处时,拉人的绳子可以近似看成水平的,此情况下人的速度和物体的速度可看成等大,两物体均做匀速运动,所以物体的加速度为0．在上述的分析中得到A物体做的是减速运动,由于物体的加速度是从0变为不为0,所以物体A的加速度是变大的,结合超失重知识得(D)是对的．

5.2 导数的应用

图5

如图5所示,人在非常短的时间内向前运动了一小段距离

vA=vcosα=

由于加速度是速度对时间的一阶导数,所以

其中负号反映加速度的方向,由于α角不断增大,所以物体A的加速度是不断增大的．

5.3 等效法的应用以及等效的解释

图6 图7

这个结果与使用微元法推导的结果是一样的,说明确实可以这样分析,为什么能这样等效呢?其实这与绳子特点和各加速度的作用效果有关．在曲线运动中切向加速度改变的是切向速度的大小,向心加速度改变的是切向速度的方向,而本情景中人沿绳的速度大小也是变化的,还需要有一个沿绳的加速度．由于绳子是不可伸长的,所以两物体沿绳的速度始终相同,正因为沿绳的速度是相同的,沿绳的速度又是变化的,所以两物体沿绳的用于改变沿绳速度大小的加速度也应该相同的．因此如果物体有向心加速度,它只是改变了切线速度的方向,所以实际的沿绳加速度减去向心加速度才会始终相等．在2018年江苏高考题中,要求计算的是最低点,此时两物体的速度均为0,因此速度为0没有向心加速度,所以两物体的沿绳加速度一定是相同的,题目的设计是合理的．如果物体速度不为0就应该按上述规律进行计算．

综上所述可得，在牵连运动中,由于轻绳的长度是不变的,所以两物体沿绳的速度一定相同,用于改变沿绳速度大小的加速度一定相同,即实际的沿绳加速度减去向心加速度后的值一定是相同的．