几何画板与数学知识生成的结合的实践与思考*—以《圆周角(第1课)》教学为例

广东省中山市坦洲中学(528467) 郭日康

开展几何画板与数学知识生成的融合的教学,有利于激发学生的学习的兴趣,揭示知识之间的内在联系,暴露知识的发生、发展过程,从而优化教学过程,提高学生分析问题和解决问题的能力,培养学生思维品质及提高学生的综合素质,它也是培养学生创新精神和实践能力的重要途径.2018年3月,笔者应邀参加顺德区凤城中学进行教学研讨活动,以《圆周角(第1课)》为内容,执教了一节公开课.现将本节课的教学实录与思考整理成文,谈谈几何画板与数学知识生成融合的实践与思考.

一、教学实录

教学活动1创设情景,圆周角从哪里来?

师：前面我们学习了圆心角,请同学们在图1中,画出一个圆心角.

生：(学生动手在导学案上画圆心角)

师：谁能根据你画出的图说一说圆心角的概念?

生：顶点在圆心的角叫圆心角.

师：谁来说说圆心角的有关性质?

生：在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

点评以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,面向全体学生,为下面学习圆周角作铺垫.

师：如果将图2中的圆心角∠BOC的顶点移动,改变顶点O的位置,那O的位置有哪些可能性呢?

图1

图2

图3

生：O可以在圆内、圆上、圆外.

师：(几何画板演示),拖动点O,改变O的位置,如图3所示,O可以在圆内,圆上,圆外.如果让你们研究这些角,你们打算研究哪一种?

生：顶点在圆周上的角是这三类中最为特殊的角,所以我觉得先研究它.

师：我们研究一个新的图形正常从哪些方面来研究?

生：我们先研究图形的概念,再研究图形的判定与性质,最后是性质与判定的应用.

点评没有以告知的形式告诉学生要研究什么,而是让学生以已有的学习经验判断需要研究什么,怎样研究,这里不仅关注知识的传授,更关注思想方法的渗透,关注学生发现问题、分析问题、解决问题的能力的培养.

师：你们能为这些角起个名字吗?

生：顶点在圆周上的角叫圆心角,顶点在圆周上我们可以叫圆周角.

师：那什么叫做圆周角?

生：顶点在圆周上的角叫圆周角.

师：他表达的准确吗?请同学比较下面几个角,它们都是圆周角吗?

生：不是,第2个图是圆周角,其余的都不是.

师：为什么?它们有什么区别?

生：其余的角要么边不在圆里面,没有与圆相交,要么顶点不在圆上.

师：那我们一起总结什么是圆周角

生：顶点在圆上并且两边都和圆相交的角叫圆周角.

点评教师没有直接纠正学生所说圆周角的概念,而是通过比较让学生自己发现问题,有效的培养学生观察归纳能力及语言表达能力.

师：圆周角,顾名思义,自然与圆有关,与圆有怎样的关联呢?接下来请你画一画,如图4,请在图中画出弧AB所对的圆心角和圆周角,并与同学们交流.

图4

生：弧AB所对的圆心角只有1个,而弧AB所对的圆周角有无数个.

师：(利用几何画板)如图5,拖动点C至D、E等不同位置,我们可以发现弧AB所对的圆周角有无数个.

图5

图6

师：(总结)至此如图6,我们得知：在圆上,一个圆周角对应圆上一条弧,圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆心角,但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联系,因此圆周角与它所对的弧有关,是圆上的一条“弧”维系着圆心角的“一”与圆周角的“多”．可以说,圆周角、圆心角都与它们所对的弧有联系,圆周角因圆而产生,它来源于圆中的“弧”.

点评圆周角与它所对的弧有关,是圆上的一条“弧”维系着圆心角的“一”与圆周角的“多”．这让学生明白圆周角从那里来,也为后面的为什么圆上同一条弧所对的无数个圆周角彼此相等作铺垫.

教学活动2类比联想,圆周角定理的发现.

师：如图7,请大家在学案上量一量∠C=___,∠D=___,∠E=____,你有何发现呢?

图7

生：圆周角的度数都相等,都等于40°.

师：猜想：弧AB是所对的每一个圆周角是否都相等?

生：圆周角的度数都相等

师：(利用几何画板)如图8,拖动点C至D、E等不同位置,度量∠C、∠D、∠E,我们发现它们均为40°,由此我们得到弧AB是所对的每一个圆周角都相等.

图8

师：圆上同一条弧所对的无数个圆周角彼此相等的原因可能是?

生：(思考后)它们都以这条弧AB作为底.

师：那么,这条弧又与什么有联系呢?

生：(思考后)这条弧还与它所对的圆心角有联系,也就是圆周角与同弧所对圆心角有联系.

师：非常棒!请你猜想：弧AB是所对的圆周角与圆心角的关系?

生：(度量后)我发现∠AOB=80°,由此得到弧AB是所对的圆周角是圆心角的一半.

师：(利用几何画板)下面我们在几何画板中度量∠AOB,得到∠AOB=80°,由此可验证同学们的猜想.

师：(利用几何画板)下面我们在几何画板中改变弧AB的大小,然后再度量∠AOB与角∠ACB,我们同样得到∠ACB=∠AOB,由此进一步验证同学们的猜想.

师：(总结)圆周角与圆心角是通过这条弧AB取得联系．形象地说,这条弧就像一座“桥”,圆周角与圆心角可以在这座“桥”上来回走动,弧就是它们彼此联系的“结点”.

点评 至此,让学生明晰圆上同一条弧所对的无数个圆周角彼此相等的原因,它们都弧为联系的载体,清晰地表述它们之间的逻辑关系.让知识的生成更加自然与流畅.

教学活动3合作探究,圆周角定理的推证.

师：对于刚才我们的发现：同弧所对的圆周角相等,等于该弧所对圆心角的一半.对这两个猜想,是先证“同弧所对的圆周角相等”?还是先证“同弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半”?

生：“同弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半”成立时,命题“同弧所对的圆周角相等”就一定成立,所以还是先证命题“同弧所对的圆周角都等于该弧所对圆心角的一半”成立．

师：有这么多的圆周角,怎样来证明呢?可以用什么思想方法来研究?

生：分类讨论思想!

师：如何对这么多的圆周角进行分类?

生：(沉默思考,困惑)

师：请同学们思考同一条弧所对的圆周角与圆心角的位置关系?可分成几种情况?用什么分类标准对它进行分类?

生：可以分为三类,圆心在角的边上,圆心在角的内部,圆心在角的外部.(相当部分学生仍困惑)

师：(利用几何画板),如图9,当移动圆周角的顶点时,就出现了圆心与圆周角的三种位置关系—圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部．

图9

生：豁然开朗!

师：你们准备先研究哪一类?

生：先研究圆心在圆周角的边上的!因为它最特殊!

点评与活动2类似,教师一步一步的引导学生研究问题,先让学生动手操作发现问题,再大胆的猜想,最后严谨的求证.

师：如图10,谁来为大家展示证明：∠ACB=∠AOB?

生：因为∠AOB是△AOC的外角,所以∠AOB=∠ACB+∠OAC.因为OA=OC,所以∠ACB=∠OAC,所以∠AOB=2∠ACB,所以∠ACB=∠AOB.

图10

师：另外两类怎样解决呢?以小组为单位,1至3组研究圆心在角的内部的.4至6组研究圆心在角的外部的.

生：(学生推证)

师：(适当指导)在数学证明中,我们通常将未知的知识转化为已知(或已学过)的来进行证明.像圆心在角的内部的这种情况,我们能否将其转化为刚才的第一种情况进行证明?

生：在图11中,若过圆周角∠ACB的顶点C作⊙O的直径CD,圆心角∠AOB是以△AOC与△BOC两个三角形的外角身份出现的,此时圆周角∠ACB被分成的两个角也恰好分别是△AOC与△BOC的一个内角,因此可以利用“和”的办法来完成“∠AOB=2∠ACB”的证明．证明如下：(具体证明过程略)

图11

师：如何证明第三种情况呢?在第三种情况中,该如何创造“圆心角∠AOB是一个三角形的外角身份、圆周角∠ACB恰好为这个三角形的一个内角身份”条件呢?

图12

生：在图12中,过圆周角∠ACB顶点C作⊙O的直径CD．因为∠BOD是△BOC的外角,所以∠BOD=∠DCB+∠OBC.因为OB=OC,所以∠DCB=∠OBC,所以∠BOD=2∠DCB.因为∠AOD是△AOC的外角,所以∠AOD=∠OAC+∠OCA.因为OA=OC,所以∠OAC=∠OCA,所以∠AOD=2∠OCA,所以∠AOB=∠BOD-∠AOD=2(∠DCB-∠DCA)=2∠ACB,所以∠ACB=∠AOB.

师：还可有其它的证法吗?

图13

生：还可从“内角”方面着手,另辟溪径,同样可将问题化解.如图13,连AB和OC,因为∠AOB=180°-∠OBA-∠OAC-∠BAC,∠ACB=180°-∠OBA-∠OBC-∠BAC,又因为OB=OC,∠OBC=∠OCB,∠ACB=180°-∠OBA-(∠ACB+∠ACO)-∠BAC=180°-∠OBA-∠ACB-∠ACO-∠BAC,所以2∠ACB=180°-∠OBA-∠OAC-∠BAC=∠AOB.

师：非常棒!我们已经验证了猜想“同弧(或等弧)所对的圆周角相等,等于该弧所对圆心角的一半”是正确的.回顾我们的探索过程,你有些什么收获?

生：我们研究问题可以先特殊再一般,如果有无限个,可以找一找共同特征将它们分类,化成有限个.

生：圆周角性质的证明中,将一般向特殊转化.

生：我们研究几何图形的问题一般由：“概念–判定–性质–应用”的过程.

生：在证明或解决新问题时,我们要通常将其转化化归为已学过的问题或知识来解决.

师：非常棒!从特殊到一般,是我们学习数学的重要思想方法.与此同时,当情况有多种时,我们要懂得将其分类,这是数学学习的分类讨论思想.更重要的是,我们要学会转化化归,将新问题化归为已学过的问题或知识来解决.

点评活动3借助几何画板,教师引导学生从特殊入手,一般转化为特殊．在转化过程中,仅仅抓住圆周角与圆心角的“身份”,特别是圆心角在不同情形中“身份”的变化,圆心角“身份”变化的“宗”就是它始终是一个三角形的外角．归纳推理的本质是：从经验过的数学结果推断未曾经验过的数学结果的可能性,再借助推理验证数学结果的必然性.

教学活动4认知内化,圆周角定理的应用.

练习1 如图14,点A、B、C、D在⊙O上,∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC的形状,并说明理由.

图14

练习2 如图15,OA、OB、OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC,∠ACB与∠BAC的大小有什么关系?为什么?

图15

二、几点感悟

1．关注概念的获得过程.

心理学研究成果表明,概念获得方式主要有两种：概念的同化、概念的形成．数学概念的教学要经历“具体–抽象–具体”的认识过程,即“概念的外延分类–概念内涵的归纳、概括–概念的外延辨析”的认识过程,教学设计中要从具体的角的分类和辨析,归纳得到圆周角的内涵,再通过具体圆周角的辨析,完成概念的同化和形成过程．于本节课而言,明确圆周角从那里来尤为重要.

章建跃博士指出,“明数学之道,方能优教学之术”.圆周角首先是一个角,它有一个顶点、两条射线．圆周角,顾名思义,自然与圆有关,与圆有怎样的关联呢?我们在引导的时候要强调或解释的内容要点有：圆周角的顶点一定在圆上、并且两边一定要截一段弧；在圆上,一个圆周角对应圆上一条弧,圆上一条弧对应着无数个圆周角.圆周角不是来自于圆心角,但它的两边在圆上所夹的一段弧与所对的圆心角有联系,因此圆周角与它所对的弧有关,是圆上的一条“弧”维系着圆心角的“一”与圆周角的“多”．可以说,圆周角、圆心角都与它们所对的弧有联系,圆周角因圆而产生,它来源于圆中的“弧”．

在课堂中,教师利用几何画板,让图形由原来的“不动”变成了“多动”,学生真真实实地经历了观察、猜测、推理、验证等活动．弥补了传统教学中获得方式的不足,极大地丰富了学生获取知识的途径.

2．突出图形性质探究中的思维过程.

几何探究的核心价值的实现需要通过具体问题的探究任务来引导学生的探究活动,并使学生的几何直观和推理能力(数学思维)得到发展．在圆周角性质的探究过程中,通过从特殊到一般的过程获得性质,再通过演绎推理证明性质,培养学生直觉思维和逻辑思维能力,符合几何学习的一般规律,突出思维过程．在教学中,教师利用几何画板度量∠AOB,得到∠AOB=80°,由此可验证同学们的猜想.并将其从特殊到一般,在几何画板中改变弧AB的大小,然后再度量∠AOB与角∠ACB,我们同样得到∠ACB=∠AOB,由此进一步验证同学们的猜想.

3．数学思想的渗透要符合学生的认知生成过程.

在图形性质的探究过程中,渗透特殊到一般、分类讨论、化归等基本数学思想,要让学生在具体的探究活动中体验和反思,形成自觉运用这些思想方法的习惯和能力,要符合学生的认识规律,不能将思想方法的运用直接抛给学生,而忽视学生的认知过程．在圆周角性质的探究中,若直接告知学生分成三种类型,学生不理解要为什么要如此分?为什么首先研究最特殊的情形?用思维的结果代替思维过程,不符合学生的认知过程；通过对各种图形进行分析,自主选择研究(当然也可以首先研究最特殊情形),反思研究的几种类型,学生感悟到分成三种类型是必要的,明确分类的标准和方法,完成性质定理的探究和证明,符合学生的“认知生成过程”．本课中,教师利用几何画板,当移动圆周角的顶点时,就出现了圆心与圆周角的三种位置关系—圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部、圆心在圆周角的外部．较好地突破将无数个圆周解分成三种位置类型这一难点,为证明作好铺垫.

4.几何画板辅助教学要找准切入点,切忌花俏.

“教之道在于度,学之道在于悟”.几何画板的辅助教学如何引导,何时介入,介入多少,这里便有个“度”的问题,要处理好这个“度”的问题关键是找准切入点.几何画板与数学课程的整合应整合在关键处,如难点的突破、认知的冲突、规律的生成以及数学思想方法的呈现等.

同时,在课件的设计上切忌花俏,几何画板辅助教学不是功能展示课,课件的制作过于华丽、花俏,容易分散学生的课堂注意力,几何画板的辅助教学应在是否体现新的教学思想；是否体现新的数学思想；是否更简单直接突破教学的重、难点上下功夫.

另外要注意的是在教学中,能用黑板或其它教具讲清楚的问题,不一定要用多媒体,特别是例题或习题讲解时,切忌用多媒体,要注意黑板的板书,因为板书是把思维过程呈现给学生的一个重要载体.