基于亥姆霍兹线圈的旋转磁场设计方法和COMSOL 有限元仿真

范程颖

（同济大学，上海 200000）

1 旋转磁场定义

旋转磁场的方向可以由旋转面的法向即旋转轴方向唯一确定，如图1 所示，在空间坐标系中磁场的中心处于原点，旋转磁场方向矢量与z 轴的夹角为γ，→在xoy 平面的投影与x 轴的夹角为α.

图1 旋转平面的空间坐标表示

其中，k 和φ是将三角函数中间项和差化积后的结果，可由下式给出：

2 亥姆霍兹线圈的磁场计算

亥姆霍兹线圈是一对彼此平行的相同线圈，两个线圈间距等于线圈半径，线圈绕线方式同向，且电流方向相同使得线圈产生的磁场方向一致[2]。如图2 所示，一对亥姆霍兹线圈轴线重合且沿x 轴方向，以两个线圈的中心为起始点的轴线线段中点处于坐标原点。令线圈半径为R，线圈中心到原点的距离为a，xoy 平面为工作平面，其上一点p：（x0，y0，0）处于线圈对中间。取左线圈上一段微元记作m，将右线圈上对称位置的微元记作n，对p 点的距离向量分别为，微元与线圈连线与y 轴正方向成θ角。

根据毕奥萨伐尔定律，p 点处的磁场由两个线圈产生的磁场叠加得到：

亥姆霍兹磁场轴向和径向分量分布如图3 所示。根据图3，m 点和n 点的坐标表示为m（-a，Rcosθ，Rsinθ），n（a，Rcosθ，Rsinθ）.

为了简化计算，对包含p 点坐标x0，y0的项进行换元[3]：

p 点处的磁场为：

其中：

图2 一维亥姆霍兹线圈磁场计算

图3 亥姆霍兹磁场轴向和径向分量分布

3 三维亥姆霍兹线圈旋转磁场参数建模

3.1 亥姆霍兹线圈磁场的结构参数

在实际设计亥姆霍兹线圈时，由于线圈有一定的厚度，必须考虑线圈的实际尺寸，假设线圈内径为R1，外径为R2，左右线圈内端面到z 轴中轴线的距离分别为c，外端面到中轴线的距离为l.假设导线的横截面积为σ，导线均匀紧密地绕在线圈上，匝数为N，则单位截面内电流密度J 等于总电流与截面积的比值[4]：

将面元ds 内的电流Jds 作为一个电流环，再对位置进行积分，令：

由上式可知，亥姆霍兹线圈磁场磁场强度与电流成正比，因此独立出结构参数ψ，为：

三维亥姆霍兹线圈由三对两两正交的亥姆霍兹线圈组成，如图4 所示，深灰色、黑色、淡灰色线圈分别对应到三维坐标轴X，Y，Z，工作区域为最小线圈的均匀区。

图4 X，Y，Z 轴线圈磁场

设计三维亥姆霍兹线圈的结构，要考虑以下两个方面：①内外线圈之间不能交叠，即内线圈组外边界到磁场中心的距离不小于外线圈组内边界到磁场中心点的距离；②三对线圈产生的磁场在中心区域大小与电流的比例相等，保证相同电流下产生的磁场强度相等。因此，线圈的结构参数设计应满足如下关系[5]：

3.2 亥姆霍兹线圈的电流参数

亥姆霍兹线圈截面由N 匝导线构成，尽管导线排列紧密，但导线之间仍存在一定空隙。令单根导线面积为σ0，将N 匝导线总面积与线圈横截面积的比值定义为占空系数λ[6]：

其中，kη和kβ分别表示排绕系数和叠绕系数[7]，他们的数值取决于导线直径，表示导线在线圈上排列、叠绕后的长度与导线直径成比例关系。线圈的径向厚度为内外径之差H=R2－R1，端面宽度W=l－c.已知含绝缘外皮直径φ0，则单位厚度上的匝数n1、单位宽度上的匝数n2为：

3.3 亥姆霍兹线圈的效率系数

磁场强度与电流成正比，线圈的发热正比于电流密度的平方，而且交变电流在线圈中会带来自感和与其他线圈的互感，增加了线圈的功率损耗。同时，线圈发热会使导线绝缘漆加速蒸发变薄，增加被击穿的风险，缩短线圈寿命。因此对线圈的功率损耗的分析有利于优化亥姆霍兹线圈的结构参数和电流设计，提高线圈功率因数。引入亥姆霍兹线圈的效率系数G（α，β，ζ）：

从上式可知，效率系数G 是只和线圈结构参数有关的量，与线圈的实际尺寸无关。系数G 也称作法布里系数[8]，法布里第一次将线圈的功率损耗和空心圆柱线圈中心磁场联系起来，可以表征亥姆霍兹线圈产生磁场效率的高低。

4 三维亥姆霍兹旋转磁场COMSOL 有限元仿真

COMSOL Multiphysics 5.3 是一款强大的多物理场仿真模拟有限元分析软件，对三维亥姆霍兹线圈的几何模型进行建模，COMSOL 提供了友好的几何建模工具。在上述计算基础上，基于COMSOL 有限元仿真对三维亥姆霍兹线圈产生的磁场进行了分析。首先分析了三轴线圈对的通以恒定电流的静态磁场，然后分析了对线圈通时变电流时，亥姆霍兹线圈产生的旋转磁场的准确度。

4.1 静态磁场仿真

现目标磁场的工作空间为24 mm×24 mm 的正方形区域，磁感应强度最大值为20 mT，磁场均匀度不高于0.3%，经计算，三维亥姆霍兹线圈的参数设计如表1 所示。

4.2 旋转磁场

上述模型确定后，对x，y 轴通相位相差90°的正弦交流电，频率为1 Hz，则在xoy 平面内形成旋转磁场，1 s 内原点磁场的变化如图5 所示，磁场旋转时可保持很好的形状。

表1 三维亥姆霍兹线圈参数表

图5 xoy 平面旋转磁场，T=1 s

5 总结

本文介绍了旋转磁场的计算和基于亥姆霍兹线圈的实现方法。首先给出了旋转磁场的数学描述，分析了亥姆霍兹线圈的磁场，给出了一维亥姆霍兹线圈磁场的计算方法，并分析了亥姆霍兹线圈磁场的空间分布特性，然后基于一维线圈的计算，拓展到三维，详细分析了三维亥姆霍兹线圈的结构参数和电流参数建模，最后基于三维亥姆霍兹线圈的参数计算使用COMSOL 有限元分析软件对三维亥姆霍兹线圈的磁场进行了仿真分析。