浅析高中数学的圆锥曲线问题

2019-04-12 05:51:18 神州·上旬刊2019年2期

摘要:高中数学的圆锥曲线问题有一定的难度和抽象性,我们在解答的过程中,可能会存在没有解题的思路等问题。所以,在日常学习的过程中,要对这类问题进行详细的探究,详细了解其中的理论知识和定理,并将其灵活应用在具体的解题中。因此,本文针对高中数学的圆锥曲线问题做出了进一步探究,对圆锥曲线的范围问题、圆锥曲线点坐标问题、圆锥曲线方程给出了详细的分析。

关键词:高中;数学;圆锥;曲线

我们在高中数学的学习过程中,圆锥曲线是非常重要的知识内容,需要我们对其详细掌握。在日常学习的过程中,不但要对其中的理论知识和定理有详细的了解,还要学会应用相关的理论知识,并将解题的速度和效果进行双重提升,提高数学的学习效果。

1、圆锥曲线的范围问题分析

对于圆锥曲线知识的学习,经常需要解决一些范围问题,如在已知的条件下,对离心率的范围进行计算,或者计算范围参数。这些经常遇到的问题,我们在解决分析的过程中,会找不到解决问题的点,以至于不能对题目进行深度的解析[1]。面对这样的情况,要结合对应的知识定理,深入并且全面的理解和分析问题,以便对问题进行正确的解答。

例如:已知双曲线 x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0),若过其右焦点F作倾斜角为45°的直线l与双曲线右支有两个不同的交点,则双曲线的离心率的范围是?

要使直线与双曲线有两个交点,需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率,即b/a

∵b=∴1∴e的范围是(1,2)。

2、圆锥曲线点坐标问题解析

对于点坐标的计算,是圆锥曲线问题当中经常遇到的问题,在对这类问题进行解析时,要先设置好点到线之间的距离,之后引用椭圆的定义进行解答,这样便可求出改点的坐标[2]。

例如:已知点A的坐标为(3,2),F为抛物线y2=2x的焦点,若点P在抛物线上移动,当|PA|+|PF|取得最小值时,则点P的坐标是?

由题意得 F(1/2,0),准线方程为 x=-1/2,设点P到准线的距离为d=|PM|,则由抛物线的定义得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|,故当P、A、M三点共线时,|PA|+|PF|取得最小值为|AM|=3-(-1/2)= 7/2.把 y=2代入抛物线y2=2x 得 x=2,故点P的坐标是(2,2)。

3、圆锥曲线方程问题

方程求解一直都是学习当中的重点,对于椭圆问题、双曲线问题和抛物线问题,通常情况下,我们会应用标准方程来对问题进行探究,但得到的结果会有所不同。并且,在这一过程中,还会将解题的难度增加。所以,在思考问题时,可统一应用圆锥曲线,以便将问题进行简化[3]。

例如:椭圆的一个顶点为A(2,0),其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.

(1)当顶点为A(2,0)为长轴端点时,a=2 ∵a=2b ∴b=1,椭圆的标准方程为x2/4+y2=1;

(2)当顶点为A(2,0)为短轴端点时,b=2 ∵a=2b∴a=4。椭圆的标准方程为:x2/4 + y2/16 =1

又例如:已知中心在原点,焦点在X轴上的椭圆与直线x+y-1=0交于A,B两点,M为A、B中点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为2,求椭圆的方程

解,因,椭圆的中心在原点,短轴长为2

所以,设椭圆方程为x2/a2+y2/1=1,A(x1,y1),B(x2,y2)

即x2+a2y2=a2

所以,x12+a2y12=a2,(1)

x22+a2y22=a2,(2)

由(1)=(2)化简:a2(y22-y12)=-(x22-x12)

[(y2+y1)/(x2+x1)]×[(y2-y1)/(x2-x1)]=-1/a

又因,M[(x2+x1)/2,(y2+y1)/2]

所以,OM的斜率=[(y2+y1)/2-0]/[(x2+x1)/2-0]=(y2+y1)/(x2+x1) =0.25

又因,直线x+y-1=0的斜率为(y2-y1)/(x2-x1)=-1

所以,0.25×(-1)=-1/a2(M是等边直角OAB的斜边AB的中点,OM=AB/2)即,a2=4所以,椭圆方程是:x2/4+y2=1

4、结束语:

总之,我们在高中数学的日常学习中,圆锥曲线问题既是学习的难点也是学习的重点。圆锥曲线知识结构当中包含的题型非常多,在解决问题的过程中经常会遇到一些困难。所以,要掌握一定的解题技巧和正确的解题方式,结合具体的定义对其进行深入的思考和分析,这样才能系统的解决问题,有益于学习质量的提升,并提高自身对数学知识的理解能力,完善学习体系,学习效果才会有明显的提升。

参考文献:

[1]郭启淳.圆锥曲线的学习总结[J].中国校外教育,2018 (08):120-121.

[2]范航.试分析高中数学的圆锥曲线问题[J].农家参谋,2017 (20):133.

[3]周子淳.寻求最简 争取时间——对一个圆锥曲线定点问题的一题多解探究[J].亚太教育,2016 (28):34+9.

作者简介:冯智博(2001.03)男,民族:汉族,学校:三门峡市外国语高级中学。