2018年高考全国l卷理科数学第21题的若干思考

2019-04-13 09:45:42 福建中学数学2019年1期

黄顺进 黄耿跃

1 试题呈现

2 初步分析

题目所给的函数是由反比函数、正比例函数、对数函数3个基本初等函数通过四则运算组合而成,给考生的感觉是题干简洁,看了就会想往下做,具有一定的亲和力,第一问讨论函数的单调性,中等生基本能拿到分数,第二问证明不等式,对考生的思维能力、运算能力等要求较高,且要懂得利用第(1)问的结论,敢于代入不等式的左边进行化简,才能顺利求证不等式.

3 第(Ⅱ)问错误解法的思考

事实上,这样的问题等价是错误的,理由就是把存在性问题,看成任意性问题,且没有注意到a与x1,x2还是互相关联的,导致产生错误的解法.

4 试题第(Ⅱ)问多种解法的思考

解法1构造关于x1或X2的函数

由第( I)问知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

解法2构造关于a的函数

从而原不等式得证,

评注由第(I)问有x1+X2=a,X1X2 =1可知x1,x2,a三者是存在一定的内在联系的,是互相牵制的,只要选定其中一个为变量,就可构造出新函数,于是也可以构造出关于a的函数,但中間要利用到洛比达法则或极限的思想进行说明,

解法3 利用函数的单调性

从而,原不等式得证,

评注在构造新函数前,必须把参数a消去,如果所构造的函数含有参数a将使求解陷入死胡同,难以为继,

解法4 利用整体换元构造函数

5 试题题源的思考

很多教师看到全国1卷的这道函数与导数试题,第一时间就想到2011年湖南文科第21题:

(2)若f(x)有两个极值点x1和x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线的斜率为k,问:是否存在a,使得k=2-a?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由,

笔者以为,不能因为找到了高考题的题源,就认为高考出这种题目水平太低了,而是要深入地去反思:为什么高考敢这样考?笔者认为,这种题目是经典题,它蕴含着很多数学的思想方法,是可以区分不同思维层次的考生,所以高考敢于用推陈出新命题手法命制试题,这应该引起一线教学的重视.

6 对函数与导数中双元问题的复习思考

17世纪,数学的发展突飞猛进,实现了从常量数学到变量数学的转折,变量数学又经历了单变量到多变量的发展变化,应该说中学阶段在研究变量问题时,更主要的还是以单变量问题为主,所以,这就给了我们求解双变量问题的启发,即:想方设法把双元问题通过换元或其它方法,转化成单变量问题,才能进行问题求解,事实上,本文提供的4种方法的本质都是转化成构造单变量函数问题.