“数”与“形”的碰撞

2019-04-13 09:04:42 福建中学数学 2019年1期

杜成北 陈景文

数形结合就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维结合,通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题,体现了数学抽象和直观想象的核心素养,它们之间有着十分密切的联系,在一定条件下,“数”和“形”之间可以相互转化,同时必须相互联系、相互渗透,否则容易走进误区,本文通过一道试题谈谈对数形结合思考,供各种考试命题者参考,以免走进误区.

1 题目呈现

2 考查目标

本题主要考查函数的零点(或转化为两曲线的交点),函数图象的对称问题;同时运用了化归与转化、数形结合等数学思想方法,旨在培养学生直观想象核心素养.

3 错误解答

原函数在y轴左侧的图象是一段正弦型曲线,在y轴右侧的图象是一条对数曲线,要使得图象上关于y轴对稱的点至少有3对,可将左侧的图象对称到y

4 揭秘“真相”

5 分析错因

问题的根本原因在于这是两条曲线相切问题,与直线和曲线相切是有一定区别的,而且本题的参考解答只注重“形”的直观性,忽略“数”的严谨性验证,下面是笔者从“数”的角度去思考,验证此“形”的直观性有误.

6 解决方案

通过上述分析,笔者认为此题的正确解法应该从曲线与曲线相切的角度思考,那么曲线与曲线相切的充要条件是什么呢?一般地,“曲线与曲线相切”的定义是:若曲线C1与曲线C2有公共点P(x0,y0),且它们在该点处的切线重合,即曲线C1与曲线C2在点P处相切(曲线与曲线相切包括直线与曲线相切

7 错解启示

通过以上试题的分析,笔者认为有几点值得关注,其一,命制或求解有关数形结合的问题时,切勿重“形”轻“数”或者将二者割裂,数学家华罗庚对此亦有这样的论述:数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休;其二,涉及相切方面的命题最好应选择直线与曲线相切方向,尽量回避曲线与曲线相切,确实命出适合高中生可以解决的试题.

参考文献

[1]甘志国.各种各样的曲线相切Jl.数学通讯,2014 (4): 68-70


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