用时域有限差分法分析双频带滤波器的教学探讨

王本新

摘要：双频段滤波器是微纳光学与材料课程中一类非常重要的器件，它在工业生产实际过程中具有广泛应用。然而学生对此类器件的相关理论方面的内容是含糊不清的。为加强学生对本知识点的理解和掌握，本文借助时域有限差分法从理论上详细讨论双频段滤波器是如何构建以及如何工作的。鉴于所采用的教学辅助方法非常的直观和形象，因此可明显提高学生的学习积极性和对本知识点的识记。

关键词：时域有限差分法;双波段滤波器;理论模型

中图分类号：G642.0     文献标志码：A     文章编号：1674-9324（2019）12-0118-02

一、引言

微纳光学与材料是江南大学理学院光电信息科学与工程系开设的一门与光电领域相关的课程，该课程旨在讨论近年来微纳光学器件及材料在本学科领域的研究现状、最新研究进展等方面的内容。双频段滤波器是本课程中一个非常重要的知识点，需要学生能重点识记和掌握。然而在现有课程体系中，该部分内容主要讲解多频带滤波器是如何构造以及具备何种应用潜能，缺乏对器件的详尽理论讨论，这就使得学生对本部分知识点存在着理解盲区。如寻找到具有直观化和形象化的教学辅助方法将有助于学生对本知识点掌握。近年来，基于时域有限差分法的数值仿真软件广泛应用于微纳器件与材料的理论设计、分析与研究[1-3]。该方法在高年级学生（如硕士研究生和博士研究生）中具有较高的普及程度，而对低年级的本科生来说是非常的陌生。针对这一现状，本文首先简单介绍基于时域有限差分法的数值仿真软件，紧接着用该软件详细讨论双频带滤波器是如何建模、如何工作等理论内容。

二、时域有限差分法简介

时域有限差分法的英文全称为Finite difference time domain method，该方法由美籍港人Yee于1966年首次提出并用于分析柱形结构的電磁散射问题[4]。但该方法并没有得到科研工作者的广泛关注与重视，这是由于当时的计算机水平还处于起步阶段，无法满足其对计算机内存的需求。后来，随着计算机水平和计算机内存的快速扩容为该方法的普及提供了契机。时至今日，该方法已较为成熟，它已成为理论分析各类微纳光电器件的重要手段之一[5，6]。更为重要的是，基于该方法的数值仿真软件具有可视化程度高、操作易上手、易于掌控的优点，因此这一辅助软件非常符合现阶段本科生的接受水平。关于该方法和基于该方法的仿真软件的详细讨论可参阅文献5和6。

三、双频段滤波器的理论分析教学探讨

图1给出了一较为常见的双频段滤波器的结构示意图。在该示意图中，使用两个相互嵌套的金属环置于一特定厚度的二氧化硅衬底材料上用于分析和讨论双频段滤波器。两相互嵌套的金属环的半径分别为：R1=45 μm，R2=30 μm，它们的线宽度均为w=5 μm。二氧化硅衬底材料的折射率为n=1.5。真实情况的双频带滤波器是内含无数个如图1所示的晶格结构，为模拟或匹配这一情况，可采用周期性边界条件实现。该晶格结构的周期为P=100 μm。当一束平面电磁波照射到两相互嵌套的金属环上时，便可实现对特定波长的俘获作用，从而实现双频段滤波效应。

图2给出了电磁波照射两相互嵌套的金属环阵列结构后的透射图。可明显观察到两个透射系数接近于0的低谷，分别标记为A和B。其中A点的频率为0.93 THz，B的频率为1.57 THz。由于A和B的透射系数均接近于0，表明该微纳结构可实现双频带滤波性能。那么同学们可能好奇为什么该微纳结构可实现双频带滤波，或其内在共振机理是什么呢？

为解决学生对以上问题的疑问，作者带领学生一起分析为何该微纳结构可实现双频段滤波。既然要分析实现双频带滤波的原因，可借助该数值仿真软件模拟每一频率下的电场分布。如图3（a）所示，A点处的电场主要集中在金属环半径为R1的外环上，而半径为R2的内环上基本无电场分布。与此相反的是，B点处的电场主要聚集在环半径为R2的内环上，而半径为R1的外环上无明显电场聚集，见图3（b）。根据这些电场分布，可推断出A点的共振主要与金属外环有关，而B点的形成机理应与金属内环有关联。实际上，这个推断是显然的，根据经典的LC回路共振理论[7]，每一金属共振器对应的滤波频率均与其尺寸成反比。这就不难理解为什么A点和B点的形成机理分别源自于金属外环和内环的共振响应。

根据这一理论，还能够得到如下结论：（1）当金属外环半径R1变化而固定内环半径R1时，应该仅仅影响双频带滤波器件中A点的频率，而B点的频率固定不变或轻微移动;（2）当仅仅改变金属内环半径R2时，可明显调控双频段滤波器件中B点的频率，而稍稍影响A点的频率。图4（a）和4（b）分别给出了金属外环半径R1和内环半径R2的变化对双频段滤波器共振性能的影响。结果展示，金属外环半径R1的变化可明显影响滤波器件低频点A处的频率，而对高频点B处的频率几乎无影响，见图4（a）。与此相反的是，金属内环半径R2的变化可显著调控滤波器件高频点B处的频率，而轻微影响低频点A处的频率，见图4（b）。这些计算结果高度匹配经典LC理论模型的预测数值。

四、结束语

通过借助时域有限差分法的数值仿真软件对双频段滤波器件的讨论，能够充分调动学生学习的积极性和主观能动性，并能提高学生对本部分的理解与识记。随着微纳光学的进一步发展，相信该方法在微纳光学与材料课程中将发挥更大的作用。鉴于该方法具有诸如简单化、可视化和易操作的特点，预期学生在掌握本知识点的同时，能够具备举一反三和增强相关知识点的理解能力，从而在培养学生的自主创新能力和意识上具有重要的意义和作用。

参考文献：

[1]胡瑞.基于复合微纳金属光栅—波导结构的双通道带通滤波器的设计[D].大连：大连理工大学，2015.

[2]罗虎.亚波长金属结构光传输特性的时域有限差分模拟[D].衡阳：南华大学，2012.

[3]林靜.表面等离子微纳结构光束调控器件的设计研究[D].北京：中国科学院研究生院（光电技术研究所），2013.

[4]Yee K.S.Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，1966，14（3）：302-307.

[5]葛德彪，闫玉波.电磁波时域有限差分方法[M].西安：西安电子科技大学出版社，2011.

[6]吕英华.计算电磁学的数值方法[M].北京：清华大学出版社，2006.

[7]Ye Y.，Jin Y.，He S.Omni-directional，broadband and polarization-insensitive thin absorber in the terahertz regime[J].Journal of the Optical Society of America B，2010，27（3）：498-503.

Teaching Analysis of Dual-band Filter Using Finite Different Time Domain Method

WANG Ben-xin

（School of Science，Jiangnan University，Wuxi，Jiangsu 214122，China）

Abstract：Dual-band filter is a very important device in the course of Micro-nano Optics and Materials.It is widely used in industrial production.However，students are ambiguous about the theoretical aspects of such devices.In order to strengthen the students' understanding and mastery of this knowledge point，this paper discusses in detail how the dual-band filter is constructed and how to work by using the finite difference time domain method.In view of the fact that the teaching aid method adopted is very intuitive and vivid，it can obviously improve students' learning enthusiasm and knowledge of this knowledge point.

Key words：finite difference time domain method;dual-band filter;theoretical model