COS 36°的几种求法

雷亚庆

2016届镇江一模有这样一道题：

根据sin 36°=cos 54°，求cos 2016°.

由于cos 2016°=cos（1800°+216°）=cos 216°=cos（180°+36°）=cos 36°，

所以问题回到求cos36°的值，这是一个很经典的问题.事实上题目中的条件虽然提示了解题的方向，但客观上也束缚了解题的思路.实际上如果我们打开思路，就可以发现很多解法.

解法1 利用余角公式求解，因为sin 36°=cos 54°，所以得到2sin 18°cos 18°=cos（36°+ 18°），即2sin 18°cos 18°=cos 36°cos 18°-sin 36°sin 18°，亦即2sin 18°cos 18°=cos 36°cos 18°-2sin 18°cos 18°sin 18°，两边同时除以cos 18°，有2sin 18°=（1-2 sin 218°）-2 sin²18°.设sin 18°=x，得2x=（1-2x²）2x²，即4X²+2x-1=0，

解得

所以

解法2 因为sin 72°=cos 18°，所以2sin 36°cos 36°=cos 18°，即4sin 18°cos 18°cos 36°=cos 18°，两边同除以cos 18°，得4sin 18°（1-2sin2 18°）=1，设sin 18°=x，则4x（1-2x²）=1，

注意到上述方程有一根

解法3 利用补角公式求解.因为sin 72°=sin 108°，所以2sin 36°cos 36°=sin 72°cos 36°+ cos 72°sin 36°，两边同除以sin 36°，得2cos 36°=2 cos²36°+cos 72°，即2cos 36°=2cos236°+2cos²36°-1.设cos 36°=x，则有2x=4x²1即4x²-2x-1=0，

解法4 构造黄金三角形求解，

如图1构造三角形ABC，∠A=36°，∠ABC=∠ACB=72°，

作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，

设AB=AC=1，BD=AD=BC=BC=X，则CD=1-X，

显然△ABC∽△BDC，

實际上我们发现这个三角形的底与腰之比为黄金分割数

因此这个三角形也被称为黄金三角形或最美三角形.

解法5 利用解三角形求解.如图1，在△BDC中，cOs 36°=X²+X²-（1-X）²/2X²=X²+2X-1/2X²在△ABD中，cos 36°=1/2X，即有X²+2X-1/2X²=1/2X，