算子的外积表示在线性代数教学中的应用

席政军

摘要：本文首先给出非正交基下线性算子的外积表示，其次通过引入Gram矩阵给出线性算子在非正交基下矩阵表示和外积表示的系数矩阵之间的关系，再次讨论了非正交基下恒等算子的完备性关系，最后给出了几类线性算子的运算。

关键词：线性算子；非正交基；矩阵表示

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2019）17-0220-03

线性算子或者线性变换是线性代数中非常重要的一个概念，在有限维向量空间上，线性算子和矩阵是等价的概念。线性算子是抽象的概念，而矩阵相对容易理解。选择合适的基，给定的线性算子的矩阵表示就可能会简单，甚至出现对角化的形式。特别是在Hilbert空间中，一般选取标准正交基，进而利用外积来表示线性算子，相应的系数正好是线性算子的矩阵表示。此时，线性算子的许多运算就相对比较简单，比如线性算子的复合就直接用这种外积表示的线性算子的乘积直接计算可得。但是在许多的线性代数教材中，线性算子的矩阵表示并没有依赖于标准正交基给出，而且没有给出非正交基下线性算子的外积表示。而在量子力学或者在实际问题的处理中以及有些习题课堂中会遇到非正交基的算子表示形式，在实际的教学过程中自然地就不能再直接使用正交基下的运算进行简单的推广讲授，因此必须从原始的定义出发做一些相应的修改。本文首先给出非正交基下线性算子的外积表示，其次引入Gram矩阵给出线性算子在非正交基下矩阵表示和外积表示的系数矩阵之间的关系，再次讨论了非正交基下恒等算子的完备性关系，最后给出了几类线性算子的运算。本文的具体讨论是在复数域的Hilbert空间上进行的，一些概念和准备将会涉及更加一般的向量空间。定义了内积的完备的复向量空间就是Hilbert空间。

参考文献：

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