探讨导数在函数解题中的运用

摘要：自从导数进入高中数学教材以后，导数所具有的基本性质，给我们提供了一种全新的解题工具，因此导数的在高考中的地位就显得尤其重要。本文基于导数在数学中的重要地位，主要从导数的基本性质以及基本性质的扩展应用两个方面探讨导数在数学中，特别是在函数中的具体应用，如：分析导数应用在函数单调性、凹凸性、极值、最值等一些基本问题上的解题思路，扩展的应用针对一些稍有难度的题型进行讨论。针对每一项具体的应用，举例体会导数在函数问题中的解题过程，最后根据导数在函数中应用的特征得出结论。

关键词：导数；函数；单调性；极值；最值；凹凸性

1前言

在数学的整个学习过程中我们可以发现，从初中的数学教材开始，函数这个知识点已经逐步的出现在我们的数学教材中，而且由浅到深，函数知识越来越丰富。甚至现在很多版本的小学教材已经将一元一次方程求解纳入教学大纲，方程中未知数的求解就是我们学习函数的入门，是我们学习函数的最基础的一个环节，也就是说，函数的应用已经更加的广泛，在教材上提前让学生进行学习。

为什么函数问题如此深入教材？无论是在初中、还是高中阶段，函数的内容在考试中都占据了非常重要的问题，初中阶段接触的一些较为简单的函数：一次函数、反比例函数、二次函数等，到了高中学习阶段，我们又接触了像幂函数、对数函数、指数函数基本的函数。函数之所以这么重要，因为它的应用十分的广泛，我们生活中遇到的太多事情大大小小都可以和函数结合起来，所以再题目中出现就不会那么奇怪了，因为教材是贴近生活的，我们不止是为考试而学习，我们希望学到的知识能在生活中得到体现，得到很好的应用。再者函数还可以和图像、图形等多种方式结合，因此它的形式多样，变化复杂，在出考题上就会相对灵活，更能全面考察学生的综合能力。导数本是大学阶段高数教育的入门内容，近年来引入到高中教材，在此情境下探讨导数在函数中的具体应用就变得很有必要。

2导数在函数解题中的应用举例

（1）导数在函数表达式问题中的应用

函数问题在高中数学考试试卷中的位置分布通常在最后的一个大题中，且占据的分值属于重量级，通常在解决一个总的函数问题，求解函数表达式基本都是入门级，基础级的问题了。在没接触导数学习前，对函数的表达式进行求解就已经有各种各样的方法。但是随着高中教材的丰富，导数的引用，又为解决这类问题提供更广更深的思路，下面我们看一个具体的例子来感受一下导数在这类问题中的具体运用：

例1，在x=x0处，函数y=f（x）能够取得极大值或极小值，我们把x0点称为的极值点。已知有两个实数a和b，函数f（x）=x3+ax2+bx有2个极值点分别为1、-1，求函数y=f（x）的表达式.

解：对f（x）求导可以得到：

由题目可知1、-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点

即当x=1或x=-1时，有f（x）=0

则有：

所以函数y=f（x）的表达式为：

（2）导数在函数不等式证明问题中的应用

导数应用在函数不等式证明中主要体现出一种最大最小化的概念，可以看成是函数极大值极小值的一种扩展形式。通常形式，比如需要证明f（x）>g（x），那我们可以构建一个新的函数h（x）=f（x）-g（x），再运用导数的一本基本性质证明出函数h（x）>0，则可以证明f（x）>g（x）。

例2，函数f（x）=x2ex-1+ax3+bx2，已知f（x）有极值点x=1、x=-2。

（i）求函数f（x）的表达式；

（ii）设g（x）= x3-x2，证明：f（x）≥g（x）恒成立。

解：（i）由于f（x）的导数为：

当h'（x）=0时，得到x=1

∵当x∈（-∞，1]时，h'（x）≤0，∴h（x）在x∈（-∞，1]上是呈单调递减的，则x∈（-∞，1]时，h（x）≥h（1）=0；

又∵当x∈[1，+∞）时，h'（x）≥0，∴h（x）在x∈（1，+∞）上是呈单调递增的。則x∈[1，+∞）时，h（x）≥h（1）=0。

∴对于任意的x∈[-∞，+∞），永远都有h（x）≥0，

又∵x2≥0，所以f（x）-g（x）≥0

即对于任意的x∈（-∞，+∞），恒有f（x）≥g（x），命题得证

（3）导数在函数解决实际问题中的应用

我们学习数学的目的不仅仅是为了参加考试，很多数学问题都是和生活密切相关的，函数问题本身就是在生活中应用很广泛的问题了，有了导数这个工具，我们能把数学知识运用得更灵活。

例3：通常情况下，水库储蓄的水的量是随着时间的变化而变化的，蓄水量单位：亿立方米，时间的单位为：月，用t表示时间这一变量，v表示蓄水量这一变量。我们根据往年的一些经验数据，可以得出蓄水量v和时间t之间存在的函数关系：

（i）当v<50时，是枯水期。用i（1

（ii）求解水库1年的蓄水量（e=2.7）。

解：

（i）

1.在0

通过化简可以得到t2-14t+40>0，这样就可以求解出t<4或者是t>10，

又因为0

0

2.在10

v（t）=4（t-10）（3t-41）+50<50，

与1类似，通过化简得到（t-10）（3t-41）<0，

可以求解出

10

而且又因为10

10

综合1和2的求解结果可以得出t最终的取值范围是：

0

这样就能得到水库的枯水期分别是在1、2、3、4、11和12总共6个月。

（ii）

根据（i）的结果可以得知：V（t）仅可能在（4，10）范围内取得最大值，现对V（t）求导可以得到：

令V（t）的导数等于0，可以求解出：

现将V（t）和V（t）随t取值变化的情况示于下表：

从表中可以看出，V（t）在t=8的时候值为最大，且V（8）=8e2+50≈108.32（亿立方米）

因此可以得出，水库一年内最大的蓄水量为108.32（亿立方米）

3.结 论

根据前文我们对导数在函数问题应用举例的具体分析，可以看出来，导数在解决函数问题中非常灵活且重要。因此我们在学习函数问题时，要充分发挥导数的作用，最好程度的利用好导数解题这项新工具。当然，在使用导数这项工具我们也要把握好方法，注意一些关键的事项。首先，重视导数基础内容，根基要稳要扎实，像单调性、极值这些知识虽然理解起来很简单，但是在解题中却没这么直白；其次，要有一种思想，数学上的思想方法是数学知识的一个高度概括，要有一种全局思想，但也要抓重点、走主线；然后，加强函数和其他像不等式、方程、几何图形等知识点的结合，这是导数应用的一个难点，但也是将知识转化为能力的一种体现；最后，导数在函数中的应用，除了基本的一阶导数、还有二阶导数，在掌握基本知识后可以适当扩展自己的新知识面，又将会发现数学世界的一片新天地。

参考文献

[1]陈崇荣. 导数在研究函数中的应用举例[J]. 語数外学习（高中版中旬），2011（z1）：7-10.

[2]潘劲森. 导数在函数研究中的应用[J]. 当代教研论丛，2017（3）.

[3]孟凡华. 导数在研究函数中的应用解题策略[J]. 科学中国人，2016（30）.

[4]王群亮. 在研究函数性质中稳健用好导数工具[J]. 科学大众（科学教育），2013（4）：12-13.

[5]冯国东. 导数在高中数学解题中的运用分析[J]. 新课程研究（上旬刊），2008（5）：26-27.

作者简介：谢治民（2001.07-），男，汉族，四川安岳人，高三在读，对于数学相关专业具有浓厚兴趣和探究热情。

（作者单位：成都七中嘉祥外国语学校）