用好对称性解决圆形边界磁场问题

河北 牛红标

熟练使用连心线，平分对称关系现。

圆形边界磁场问题是带电粒子在磁场中偏转的一个难点，很多同学由于抓不住要害，经常不能迅速准确地做出相关几何图形，找不出对应的几何关系而导致解题失败，其实若能够熟练掌握以下几何关系，便能顺利解决问题。

有关数学几何知识：

对于圆形边界磁场中的偏转问题，通常涉及的是两个圆的相交关系，一个为边界圆，一个为轨迹圆，如果做出这两个圆的连心线(两个圆心的连线)，可以看出，这两个圆的几何关系是关于这条连心线对称平分，设这两个圆的半径分别为R和r，两个圆的公共弦长为d，与公共弦对应的圆心角分别为θ和α，如图1所示，连心线将两个圆心角对称平分，且满足以下几何关系：

图1

图2

如果对以上几何知识掌握得很熟练，有关圆形磁场中偏转问题的几何关系就比较容易得到，下面引证一些实例。

一、对心入射问题

当带电粒子沿半径方向(即对着圆心)进入圆形边界的磁场时，满足以上几何关系中两个半径相互垂直的情形，再根据关于连心线对称，粒子离开磁场时一定沿半径方向，即背离圆心射出，两个半径满足正切关系。

【例1】如图3所示，电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。电子束经过加速电场后，进入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于圆面。不加磁场时，电子束将通过磁场中心O点而打到屏幕上的中心M点，加磁场后电子束偏转到P点外侧。现要使电子束偏转回到P点，可行的办法是

( )

图3

A.增大加速电压

B.增加偏转磁场的磁感应强度

C.将圆形磁场区域向屏幕靠近些

D.将圆形磁场的半径增大些

【分析】本题中带电粒子沿半径方向进入磁场，属于典型的两个半径相互垂直的相交圆问题。

图4

【点评】带电粒子的加速过程，往往根据动能定理求粒子得到的速度，带电粒子在磁场中匀速圆周运动问题，根据牛顿第二定律求半径，做出两个圆的连心线，由几何知识分析偏转角度与两圆半径的关系，这些都是基本的思路。

二、任意位置入射问题

当粒子从圆形边界磁场中某一位置，沿任意方向进入圆形磁场，一段时间后由磁场离开，这时粒子的圆形轨迹与圆形边界相交，同样关于连心线对称，画出相应几何图形也能比较轻松地得到答案。

图5

( )

【分析】两个同种粒子在磁场中运动时间相同，可知两粒子经过磁场时转过的圆心角相同，均为60°，由对称性得，连心线将这个角平分，作图找几何关系即可求解。

图6

图7

图8

【例3】(多选)如图8所示是半径为R的一圆柱形匀强磁场区域的横截面，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，磁场外有一粒子源，能沿一直线发射速度大小不等的在一定范围内的同种带电粒子，带电粒子的质量为m，电荷量为q(q>0)，不计重力，现粒子以沿正对cO中点且垂直于cO方向射入磁场区域，发现带电粒子恰能从bd之间飞出磁场。则

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A.从b点飞出的带电粒子的速度最大

B.从d点飞出的带电粒子的速度最大

C.从d点飞出的带电粒子的运动时间最长

D.从b点飞出的带电粒子的运动时间最短

【分析】粒子在磁场中，受到洛伦兹力作用做匀速圆周运动，由轨迹的特点可知圆心位于垂直速度的直线上，由对称性知圆心位于进出磁场两点连线垂直平分线上，两直线交点即为圆心。根据题意作出粒子运动轨迹如图9所示。

图9

【点评】根据两圆关于连心线的对称性特点，甚至可以不去画出粒子的轨迹圆(正确而迅速地画出粒子的轨迹圆是有一定难度的)，便可利用对称性的特点画出圆心及半径，得到相关的几何关系，使问题迎刃而解。

三、通过圆形磁场的最长时间问题

由圆形边界上某点，以一定的速率，沿不同方向进入磁场中的粒子，在磁场中运动的时间不同。若粒子的轨迹圆半径大于边界圆半径，粒子轨迹在磁场中为一段劣弧，轨迹越长对应的弦越长，此时对应的圆心角越大，粒子运动时间越长，由上面几何关系可知，当边界圆直径为公共弦时，粒子在磁场中的运动存在最长时间。

图10

图11

【点评】粒子穿过圆形磁场，轨迹为劣弧时，以磁场圆直径为弦偏转角最大，粒子运动时间最长。

四、离开圆形区域最大问题

由圆形边界上某点，以一定的速率，沿不同方向进入磁场中的粒子在通过磁场过程中，若粒子的轨迹圆半径小于边界圆半径，粒子在磁场中运动一段时间后，只能在边界上的某个范围内离开磁场，而不能到达边界上的所有位置，所以离开磁场的位置有最大范围。

图12

【例5】(2017年全国卷Ⅱ)如图12，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场。若粒子射入的速度为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速度为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上，不计重力及带电粒子之间的相互作用，则v2∶v1为

( )

【分析】由前面几何知识可知，两个圆相交时，公共弦的最大长度为小圆的直径，这恰好是本题中对应出射粒子的最大区域。

图13

图14

【点评】本题属于动态圆的分析问题，关键在于两个相交圆处于不同的相对位置时，要熟悉公共弦的最大值为小圆的直径这一几何关系。

五、磁场区域的最小面积问题

带电粒子经过圆形磁场完成偏转，其运动轨迹在磁场区域内，可以求解磁场区域面积的极值。

图15

【例6】如图15所示，一带电质点，质量为m，电荷量为q，以平行于Ox轴的速度v从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度v射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。

图16

【解析】质点在磁场中做半径为R的圆周运动

本题所求的圆形磁场区域的最小半径为

所求磁场区域如图16中实线圆所示。

【点评】粒子穿过圆形磁场时，若轨迹是确定的，则以轨迹圆弧对应的弦为直径时，磁场圆最小。

六、在磁场中周期性的运动问题

粒子在圆形磁场区域中做周期性运动时，每次的运动规律都满足两个相交圆的一般规律，和题目中给定条件相结合，找出规律，解决问题。

【例7】(2017年洛阳二统)在光滑绝缘的水平面上，左侧平行极板间有水平方向匀强电场，右侧圆筒内有竖直方向匀强磁场，磁感应强度大小为B，俯视图如图17所示。圆筒的圆心为O点，半径大小为R。一质量为m、电荷量大小为q的带电小球(可视为质点)，初始位置在A点，现由静止经电场加速后从C孔沿直径射入磁场区域，粒子和圆筒壁的碰撞没有动能和电荷量损失。B、R、m、q为已知量，圆筒仅有一个出入口C。

图17

(1)求平行板间电压U和小球在磁场中运动半径r的函数关系式；

(2)如果小球能从出入口C返回，求它在磁场中运动的最短时间；

(3)求小球能从出入口C返回且在磁场中运动时间最短情况下，平行板间所加电压U的可能值。

【分析】本题的难点在于粒子运动的周期性，每次碰撞后的运动相对圆心都会转过一个小于π的角度，多次碰撞后，最终由C孔出来时，转过的角度一定是2π的整数倍。

【解析】(1)如图18所示，小球沿直线由A运动到C，再沿圆弧运动到P点，圆弧运动的圆心在D点，设圆弧运动的线速度为v，半径为r，∠COP=θ，两板间电压为U。

图18

即n取2k+1、2k+2、2k+3…

当n=2k+1时，在磁场中运动的时间取最小值，即

【点评】本题是典型的沿半径方向入射的圆形磁场边界问题，与边缘发生的每次碰撞都沿半径方向，注意题目中要求粒子回到出发点，可能在磁场中转过了多圈。

总结