力的矢量三角形视角下的高考动态平衡问题

浙江 周 凯

以力的三角形为切入点，解决动态平衡问题。

纵观各地高考和名校考试真题，在三力平衡当中，有一类较为有趣的问题—动态平衡，指的是在某一物理情景当中，控制某一个条件缓慢变化从而引起物体受力情况相应地发生变化，在这一个过程中，物体处于一系列的平衡状态。此类问题涉及题型多，而且同一个题型解法也不是唯一的，所以笔者这里尝试将这一类问题的多个题型，均从力的矢量三角形视角进行梳理，以期与各位同好交流学习。

1.力的矢量三角形

如图1.1所示，一个物体在三个力作用下保持平衡，合力为0。我们可以依据三角形法则将作用力平移成图1.2所示力的矢量三角形。由于在动态平衡问题当中，一般物体都只受三个力，所以可以将动态平衡的问题以力的矢量三角形为基础，进行分析。

图1.1

图1.2

2.动态平衡问题分类

在此观点下，解决所有动态平衡问题的第一步都是受力分析，并依据三角形法则，画力的矢量三角形，而又因为后续方法操作不同，笔者将其分为五类—图解法三角形、相似三角形、全等三角形、恒等腰三角形和圆内接三角形。

2.1 图解法三角形

【例1】(2016年全国卷Ⅱ)质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图2.1.1所示。用FT表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中

( )

图2.1.1

A.F逐渐变大，FT逐渐变大

B.F逐渐变大，FT逐渐变小

C.F逐渐变小，FT逐渐变大

D.F逐渐变小，FT逐渐变小

【解题过程】第一步，以O点为研究对象进行受力分析，O点受力情况如图2.1.2所示：

图2.1.2

根据物体所受合力为0，将其平移为力的矢量三角形如图2.1.3所示，再根据题意，O点向左移动意味着在力的矢量三角形当中，FT这一条边顺时针转动，如图2.1.4所示，易得F和FT都变大。故选A。

图2.1.3

图2.1.4

【方法要点】这一种方法笔者称之为图解法三角形，它的适用条件非常明显，需要有一个恒力，一个方向不变的力即定向力和一个变力。我们可以提取出几个关键词—“恒，定，变”。

【拓展】这一类题目还可以拓展出变力最小值问题，画矢量三角形可知，当变力和定向力垂直的时候有最小值。

2.2 相似三角形

【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2.2.1所示。现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力FN的大小变化情况是

( )

图2.2.1

A.FN先减小，后增大 B.FN始终不变

C.F先减小，后增大 D.F始终不变

图2.2.2

【方法要点】这一种方法笔者称之为相似三角形，它的适用条件也非常明显，需要有一个和矢量三角形相似的几何三角形，而这个几何三角形存在于物理结构中。关于受力的特点，受到一个恒力和两个变力，我们也可以提取出几个关键词—“恒，变，变”。

2.3 恒等腰三角形

【例3】(2017年天津卷)如图2.3.1所示，轻质不可伸长的晾衣绳两端分别固定在竖直杆M、N上的a、b两点，悬挂衣服的衣架钩是光滑的，衣服挂于绳上处于静止状态。如果只人为改变一个条件，当衣架静止时，下列说法正确的是

( )

图2.3.1

A.绳的右端上移到b′，绳子拉力不变

B.将杆N向右移一些，绳子拉力变大

C.绳的两端高度差越小，绳子拉力越小

D.若换挂质量更大的衣服，则衣服架悬挂点右移

【解题过程】第一步，此题以悬挂点受力分析如图2.3.2所示：

图2.3.2

图2.3.3

图2.3.4

当d或者l发生变化时，如图2.3.4所示，也可以直观地看出力的大小和方向变化情况。故选AB。

【方法要点】这一种方法笔者称之为恒等腰三角形，它的适用条件也非常明显，需要有一个恒成立的等腰三角形。

2.4 全等三角形

【例4】如图2.4.1所示，小方块代表一些相同质量的钩码，图中O为轻绳之间连接的结点，装置处于静止状态，现将图中的B滑轮稍稍上移一些，则关于θ角的变化说法正确的是

( )

图2.4.1

A.θ角增大 B.θ角不变

C.θ角减小 D.θ角不确定

【解题过程】第一步，受力分析并平移力的矢量三角形如图2.4.2所示。会发现这里三个力的大小不变，相当于在三角形中三条边长不变，根据“SSS”定理，三角形全等，所以力的方向也不会发生变化。故选B。

图2.4.2

【方法阐述】这一种方法笔者称之为全等三角形，受力特点比较简单，所受均为大小不变的力，我们也可以提取出几个关键词—“恒，恒，恒”。

2.5 圆内接三角形

( )

图2.5.1

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

【解题过程】第一步，分析初状态和末状态的受力，分别如图2.5.2和图2.5.3所示，观察到末状态受三个力，依据末状态画矢量三角形。这里发现不能通过之前的任何方法去处理，但是根据题目，发现矢量三角形中的恒力G对应的角度是恒定不变的，这让我们想到几何当中一条不变的弦对应着一个不变的圆周角，引出力的矢量三角形的外接圆。

图2.5.2

图2.5.3

图2.5.4

第二步，以末状态的力的矢量三角形做外接圆，根据题意，OM绳是从初状态逆时针转动到末状态，很明显这个过程中OM绳的力先变大后变小，MN绳的力始终增大。故选AD。

【方法要点】这一种方法笔者称之为圆内接三角形，受力特点也是比较明显的，受到一个恒力，以及这个恒力所对的角度是不变的，我们也可以提取关键词—“恒力对恒角”。

3.结束语

此文只是对动态平衡问题的一些基本情况进行梳理，其进一步迁移，嵌套的其他更深刻情景也是值得关注的，比如2018年4月浙江选考物理的第13题。关于动态平衡问题的进一步迁移，这里暂不做深入讨论。