剖析电磁感应中框类问题

浙江 徐华兵

掌握核心方法，剖析框类问题。

框类问题是电磁感应中的一类重要问题，往往以力学和电学为主线考查电磁感应的主干知识。由于这类问题综合性强，涉及的物理过程复杂多变，近年来这类问题深受高中各大、中、小型考试命题老师的青睐。笔者在实际教学中发现许多学生在求解这类问题时常理不出头绪、抓不住要领，现结合笔者多年教学经历，对这类问题的常考题型的求解思路分类剖析，以飨读者。

1.电磁感应中框类问题求解思路

线框类问题往往是力学和电学的综合问题，在解决这类问题时可先将这类问题进行分解，分解为电学问题和力学问题两部分，理出解题思路，然后再各个击破，分类求解。

基础模型：一正方形线框，边长为L，每条边电阻为R，以某一初速度v0沿光滑水平面进入宽度为d(d>L)，磁感应强度为B，垂直纸面向里的有界匀强磁场中(如图1所示)，分析线框的受力情形、运动情形和能量情形。

图1

电学分析：当线框切割磁感线运动时，切割磁感线的那条边相当于电源，其余部分相当于外电路，整个线框构成一个闭合回路，当线框进入磁场过程中的电路结构图如图2所示。

图2

图3

力学分析：当线框中有感应电流时，处在磁场中的线框边会受到安培力的作用，如图3所示。通过对线框进行受力分析和运动过程分析，列出线框运动方程、动力学方程和能量方程等。

2.电磁感应中框类问题分类剖析

电磁感应中的框类问题往往是电磁知识与其他知识相综合的形式出现的，根据常见试题形式可将电磁感应中框类问题分为四类：与电路综合类问题、与图象综合类问题、与力学综合类问题和与能量综合类问题。

2.1 导体线框与电路综合类问题

导体框与电路综合类问题是指在导体框进出磁场切割磁感线的过程中，由于切割磁感线那部分导体发生变化，导致电路结构发生变化的问题。在求解这类问题时，做好电路结构分析是关键，分清内电路和外电路。画出电路中等效电源和回路电流方向，内电路中电流从电源负极流向正极，外电路中电流从电源正极流向负极。

【例1】用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导体线框，以相同的速度v匀速进入右侧垂直纸面向里的匀强磁场中，如图4所示。在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud。下列判断正确的是

( )

A.Ua

C.Ua=Ub

图4

2.2 导体线框与图象综合类问题

导体线框与图象综合类问题是指线框进出磁场的过程中产生的感应电动势、感应电流或某两点间的电压随时间变化的图象问题。常见的图象主要有B-t图象、Φ-t图象、E-t图象和I-t图象等。

【例2】如图5所示，闭合直角三角形导线框ABC的直角边BC与匀强磁场边界平行，若让框沿BA方向匀速通过有明显边界的匀强磁场区，磁场宽度L>AB，则在整个过程中，线框内的感应电流随时间变化的图象是下图中的(取逆时针方向为电流正方向)

( )

图5

A

B

C

D

【分析与求解】导线框ABC进入磁场前，未切割磁感线，产生的感应电流为零；导线框进入磁场过程中，等效切割长度增加，回路中有方向为逆时针大小均匀变化的感应电流；当导线框穿出磁场过程中，等效切割长度增加，产生顺时针大小均匀变化的感应电流。故D项正确。

2.3 导体线框与力学综合类问题

导线框与力学综合类问题是指在导线框进出磁场的过程中，在某些特殊的位置状态满足一定力学条件的问题。常见的力学条件有：恰好匀速运动，即合外力为零；恰好做匀变速直线运动，即满足牛顿第二定律。解决这类问题的关键是在这些特殊的位置状态对线框进行受力分析，根据受力分析结果和运动状态列式计算。

【例3】如图6所示，一边长L=0.2 m、质量m1=0.5 kg、电阻R=0.1 Ω的正方形导体线框abcd，与一质量为m2=2 kg的物块通过轻质细线跨过两定滑轮相连。开始时ad边距磁场下边界为d1=0.8 m，磁感应强度B=2.5 T，磁场宽度d2=0.3 m，物块放在倾角θ=53°的斜面上，物块与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。现将物块由静止释放，经一段时间后发现当ad边从磁场上边缘穿出时，线框恰好做匀速运动。(g取10 m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6)求：(1)线框ad边从磁场上边缘穿出时绳中拉力的功率；(2)线框刚刚全部进入磁场时速度的大小。

图6

【分析与求解】(1)当ad边从磁场上边缘穿出时，线框恰好做匀速运动。即线框m1和物块m2均处于平衡状态：

对物块m2有m2gsinθ-μm2gcosθ-F=0 ①

对线框m1有F-m1g-BIL=0 ②

联立①②③三式解得F=10 N，v=2 m/s

绳中拉力的功率P=F·v=20 W

2.4 导体线框与能量综合类问题

导线框与能量的综合类问题是指导线框在切割磁感线的过程中伴随着能量的转化与转移问题。在这类问题中，常常有电能、重力势能、动能和热能等能量参与转化和转移，但在转化和转移的过程中总能量却保持不变。

图7

【例4】如图7所示，在倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小相等的匀强磁场，其中一个磁场的方向垂直斜面向下，另一个磁场的方向垂直斜面向上，宽度均为L。一个质量为m、边长为L的正方形线框以速度v刚进入上边磁场时恰好做匀速直线运动。当ab边到达gg′和ff′的中间位置时，线框又恰好做匀速直线运动。求：线框从开始进入上边的磁场至ab边到达gg′和ff′中间位置的过程中，线框中产生了多少热量。

导线框ab边越过ff′后，导线框的两边ab和cd同时切割磁感线，线框回路产生的电动势E′=2BLv′ ②

当线框再次做匀速直线运动时有

对导线框从刚进入上边磁场到ab边到达gg′和ff′中间位置的过程应用能量守恒有

3.点评分析