数学高效课堂教学，从学生的认知基础出发

黄望芬

[摘  要] 只要教师在课堂上真正从学生的认知基础出发，让学生在数学概念或规律的学习过程中，有效地寻找生活素材并形成数学学习情境，有效地利用自身熟悉的思维方式进行思维，进而教师在学生的认知基础上进行点拨与引导，就可以让学生经历一个充分有效的数学学习过程，并保证核心素养的生成.

[关键词] 初中数学;高效课堂教学;核心素养;认知基础

纵观近年基础教育的发展，可以发现前些时候热烈讨论的高效课堂，与当下强调的核心素养培育，其实存在着密切的关系. 如果说核心素养是从宏观角度提出的教育教学目标的话，那么课堂之于核心素养的高效性，就应当体现在后者能够为前者的实现提供实施空间上. 也就是说，真正高效的课堂，应当是面向核心素养以及学科核心素养的，只有满足了核心素养培育，才能使得课堂具有符合当下时代意义. 作为一线教师，笔者知道日常课堂的根本任务，是帮学生建构学科知识，而学科知识的建构又需要以学生的认知作为基础，从学生的认知基础出发，既是知识建构的基本取向，同时也是学科核心素养培育的基本取向. 本文试以北师大版初中数学教学为例，谈谈笔者的思考.

基于学生认知基础在课堂上培育核心素养的意义

在笔者的教学思考中，有三个关键词，那就是认知基础、高效课堂以及核心素养. 其中，认知基础是面向学生的，但最终是要由教师来把握的;高效课堂是由教师调控，但最终是由学生的学习来体现的;核心素养是国家的教育目标，也是教师课堂的教学目标，只有在学生认知基础之上有效实现数学学科核心素养的培育的课堂，才是真正的高效课堂. 因而，基于学生的认知基础去培育核心素养，有着重要的现实意义与长远意义. 关于這一点，其实也有同行做出了判断，有人认为，“利用核心素养来指导教学设计与实践，能够为高效课堂提供有力支撑”，而这一观点在初中数学教学中确实是可以得到印证的.

例如，在北师大版初中数学七年级上册“相交线与平行线”这一章的“两条直线的位置关系”的教学中，有建立余角、补角等概念的教学需要，其数学学科核心素养可以有这样的一些指向（为了便于理解，笔者将其与教学目标的设置一起描述）：在实际情境中了解余角和补角及其数学性质;通过观察、操作、推理与交流活动，发展自身的空间观念与逻辑推理能力，同时形成用数学语言描述数学探究收获的能力;通过自身的数学体验感受数学学习的意义，培养自身主动探究与合作学习的能力. 从能力的角度来看，这些教学目标中所描述的能力，实际上都构成了数学学科核心素养的有机组成部分. 借鉴著名数学教育家史宁中教授对核心素养的判断，数学教学中需要让学生通过数学建模、逻辑推理、数学抽象等过程，生成相应的核心素养. 那么在余角与补角概念建立的过程中，从实际生活情境中建立余角与补角的概念，实际上就是一个数学抽象的过程;而设计让学生经历的观察、操作、推理与交流等活动，一方面为了促进学生构建本课相关的数学知识，同时也提升学生的学习品质，毫无疑问是指向数学学科核心素养的（其中的重点之一，就是逻辑推理）;同时，学生的数学探究过程与合作学习过程，实际上是为了让学生对数学课程有切身的体验，最终建构起来的数学模型及其运用，可以深化学生的这一体验，从而完成指向数学建模的核心素养的培育.

显然，忽视了学生的认知基础，这些活动都是无法真正展开的，只有从学生的认知基础出发去寻找实际素材，以让学生经历充分的建构过程（实际上对对应着数学抽象、逻辑推理与数学建模的过程），那么核心素养的培育就是可以实现的. 因此，基于学生的认知基础并瞄准数学学科核心素养培育的方向，就构成了当下初中数学高效课堂的应有之义.

基于学生认知基础以思想方法引导核心素养生成

核心素养的形成并非空穴来风，其是需要载体的，这个载体既是数学知识建构的过程，也应当是数学思想方法形成的过程，而且以后者来引导核心素养的培育，显得更加直接与有效. 对比传统教学与核心素养培育的需要，有研究者指出，“核心素养是当前基础教育改革中特别强调的一个内容. 当前初中数学课堂教学中还存在教学内容枯燥、教学方法呆板等现实问题. 因此，如何从培养学生核心素养的视角出发来构建初中数学课堂的高效教学显得非常的必要. ”

例如，同一平面中两直线的关系的教学中，为了帮学生建立对平行线的认识，笔者在课堂上布置了一个任务，就是到生活中寻找“永不相交”的直线，学生通常可以举出操场上的双杠、铁路上的铁轨、教室内的两墙相交形成的线等，有了这些实际例子，学生在理解“永不相交”时就有了表象支撑. 从数学学习方法的角度来看，这里既有数学抽象的过程，同时也有逻辑推理的过程，这个逻辑推理体现在学生实际上需要在大脑中比较才能去除相交而留下不相交（同时还要借助于想象去判断其是否永不相交），最终得出的平行线认识也就具有了数学模型的意义. 因而可以看出，这样的教学设计过程，对于数学学科核心素养的培育是没有任何问题的.

而从数学思想方法的角度来看，比较既是一般逻辑中的方法，同时也是数学学科学习中常用的方法，学生学习数学概念通常都是从比较开始的，也正是比较使得学生可以迈开数学抽象的第一步;同时，符号化思想在本课中也有充分的体现，在传统教学中，教师可能不太重视平行符号“∥”的教学，但实际上学生在学习此符号时，大脑中却有着一个朴素的认识，那就是这个符号是由两根平行线组成的，用其表示平行是最恰当的. 调查表明，此时大多数学生会想到数学上的另一个垂直符号，而前后对比则更可以加深学生的一个印象，那就是可以采用形象且简洁的方式，来作为几何中表示线的关系的符号. 这种认识（实际上就数学思想方法学习的结果），可以驱动学生去想象其他不同位置关系的点、线、面等，这对于其后学习立体几何其实是非常有帮助的.

又如，数形结合思想在余角、补角的学习中体现得较为充分，为了避免学生在余角对应着90°，而补角对应着180°时可能发生的混淆，笔者采用了分别教学的方式，先让学生研究余角. 实际教学时，让学生作出一个直角，然后任作一根角平分线，告诉学生所分得的两个角就是互为余角的关系，然后让学生以最快的速度在小组内互相出题判断：角A的余角是哪个角？角B的余角是哪个角？速度越快越好，强调速度就是为了培养学生的直觉. 然后补角的学习就交给学生自主完成，而学生在余角学习中形成的能力可以迁移到补角的学习中，于是建立的补角概念就比较清晰了.

比较上述课堂教学过程，可以发现这些设计都是以学生的认知基础作为教学设计的基础的. 同时可以发现，学生对数学思想方法的运用过程，几乎与数学学科核心素养强调的数学抽象、逻辑推理与数学建模是同步的，因而做出用数学思想方法的体验运用来引导核心素养的培育，理论及实践上都是可行的.

基于学生认知基础以核心素养支撑课堂的高效性

在核心素养的背景下，初中数学高效课堂被赋予了更为丰富的内涵，并且做出了只有满足核心素养培育要素的课堂才是高效的数学课堂. 从这个角度讲，以核心素养来支撑数学课堂的高效性，是符合实际的. 在这里，之所以强调学生认知基础的作用，主要原因有二：

一是学生在课堂上的学习，本身就是一个认知发展的过程. 以学生的认知基础作为学生数学学习的出发点，也是符合认知心理学的基本判断的，著名学习心理学家奥苏伯尔所说的“弄清学生已经知道了什么”，实际上就是指学生的认知基础. 具体到每一节数学内容的教学中，基于前面知识的学习，判断学生在新知识学习中可能采用什么样的思维方式，寻找有可能支撑学生建构新数学概念的生活经验与素材，都是教师教学设计时所必须要思考的. 只有满足了这些基本条件，学生在新的知识构建时思维才能充分、顺利地展开，从而以高效的数学知识建构过程支撑核心素养的培育.

二是认知基础包括知识基础与思维能力基础两个方面，而这两个方面恰恰是数学学科学习最重要的两个方面. 数学知识自身的逻辑性决定了没有必要的基础知识的支撑，新的数学知识是难以有效构建的;数学知识自身的逻辑其实又是人们在数学研究中通过思维加工生成的，这种思维加工的过程从认知的角度看，具有一定的规律性，这也是探究得以引入学习的理论基础，正是因为人在学习的过程中会有相似的探究心理，才使得学生在某一情境中探究得出新的知识成为可能. 显然，这样的数学探究过程，必须以对学生的认知研究作为基础. 事实也证明，真正尊重了学生的认知基础，数学知识的建构过程一定是顺利的，数学学科核心素养的培育是可以得到保证的.

综上所述，初中数学的高效课堂，需要以学生的认知基础作为保证，而核心素养的培育过程，也一定蕴含其中.