电阻的微观机理及热电现象的解释

明子贺

摘要：本文从微观视角出发，将电子的微观运动分为热运动和定向运动，解释了电阻的形成原理，并通过一个非常巧妙的简单方法，推导出导体两端温度不同时所形成的电势差表达式，从而解释了塞贝克效应，并给出热电偶这一温度计的工作原理。

关键词：电阻;温差电动势;热电现象;热电偶

一、引言

在高中课本里，我们经常会遇到电阻这样一个概念，表示电子在运动过程中受到的阻碍作用，并且有欧姆定律成立。那么如何在微观层面解释电阻的形成机理，并给出欧姆定律成立的原因，这就需要在微观层面描述电子在材料中的运动方式，我们发现，通过对电子的运动方式进行分类研究，不仅能够用来解释欧姆定律，实际上还可以结合热力学中的相关规律和概念用来解释和定量描述热电现象中的相关规律。

二、电子在材料中的运动

电子在材料中的运动可分为热运动及定向运动^[1]。热运动即构成物质的大量微观粒子（例如电子）所进行的不规则运动，温度越高，微观粒子无规则运动越剧烈，可以使用理想电子气体来近似处理这些电子。定向运动即电子在电场力的作用下向某一方向的运动，这个运动形成了电流。利用这一观点，我们可以从微观上解释电阻的机理。

如果我们认为在材料中，电子受到的阻力f和速度大小v成正比，方向和速度v方向相反，记作^[2]，其中a是比例系数，和具体的材料有关。此时，如果材料内部有电场E，则电场力和阻力平衡时，电子达到定向运动的速度，，这就造成了一个定向运动的电流，所以

这一公式和我们高中学到的是一致的，而且我们给出了电阻率的表达式。通过这一公式，我们可以看出来，电阻的大小和材料的值有關，且越大，则电阻值越大，这和电阻的物理意义是一致的，因为电阻表示的是材料对于电子运动的阻碍作用。我们也可以看出，n越大，则电阻率越小，这也和预期一致，因为电子的浓度越大，导电性能显然越好，也就意味着电阻小。

三、温度差导致电势差

当导电物质的两端温度不同时，在其两端会产生一个电动势，这个电动势叫做温差电动势。我们可以从导电的微观机理层面出发推导温差电动势的表达式。

首先，一个温度均匀的导体，其各处温度相等，因此是一个等势体。其次如果考虑两个不同温度的相同材料导体相互接触，或者说考虑一个导体上有两个温度不同的区域和（设），如图1所示，此时温度不同的两个地方之间会有一个电势差。这是因为，在区域，电子的热运动更加剧烈，向区域移动的速度更大，所以单位时间内高温端向低温端移动的电子数量更多，所以低温端有电子积累，高温端有正电荷积累，从而形成内建电场，这个电场会阻碍电子继续移动，最终平衡时，电子的净流动消失，并在高温端和低温端形成了一个电势差。

我们首先考虑温度差导致的电流，一方面，区域的电子会向区域移动，造成向右的电子移动，也即向左的电流，其中是区域电子的平均速度;另一方面，区域的电子会向区域移动，造成向右的电流，其中是区域电子的平均速度，所以热电流大小为，方向向右。

其次考慮内建电场引起的电流。由于在温度恒定的区域，导体是一个等势体，所以之间的电势差只分布在交界处，这一段区间上温度由变化到，其长度为平均自由程^[3]，根据欧姆定律可以知道，这个电势差在交界处所引起的电流为，其中表示的是交界处温度变化的区域的电阻大小。电势差造成的电流方向必须向左才能够抵消热电流，也就意味着电势。

现在要求净电流为0，所以有

这就是温差电动势。

如果这块密度均匀的导体从左至右可以分为三块等温区域（），那么在交界处就会有：，在交界处就会有;由此可以得出，也就说明在两端温度为和的情況下，该导体两端的电势差与无关，只与该导体两端温度差导致的速度差有关。

在现实中，加热导体一端导致温度在此导体中是连续变化的，也就是说并不存在严格温度恒定的一段长度，这段导体中每一段的温度都是不同的。但是，我们可以把这段导体从左到右分为很多个区域，每段区域的长度趋近于零，但大于等于电子的平均自由程。从左到右的每一个区域温度分别为（），则在交界处就会有：。因此可知任意两点之间的电势差，也就是说，导体中任意两个位置的电势差与该两个位置的热运动的平均速度差之比为定值，该值的大小只和导体的材料有关，和导体的几何性质等等其他因素没有关系。那么只要将速度v关于温度T的函数带入即可表示出导体电势差U关于温度T的函数。因此，不妨将电子在导体中的运动环境等效成理想气体^[1]，根据理想气体内能公式可得，其中k是玻尔兹曼常数，解出，因此

其中C为待定常数，其大小和我们选取的电势参考点有关。

在一段小温度区间内，近似地可以有，因此可以认为，导体两端的电势差与导体两端温度差成正比，而与导体内部温度无关。

四、温差电的应用

如图2所示，如果两个不同材料的导线首尾相接，此时若结点C处被加热至温度，其他位置处的温度为环境温度，则AB之间能够形成电势差，这叫做塞贝克效应^[4]。的大小和溫度和有关，通过测量结合已知的环境温度，可以反推得到的大小，这就是热电偶的工作原理^[4]。

的公式也可以利用三中的结论推导。我们把AB两点之间的电势差看成是AC之间的电势差以及CB之间的电势差的加和，分别对两端材料使用三中得到的结论，于是有

所以有

其中下角标表示的是组成热电偶的两种材料，这就是热电偶的工作原理。值得一提的是，由于结论和材料的几何形状无关，也和材料中间的温度无关，因此热电偶的加工制作过程不需要很严格，只需要保证两根导线各自的组成比较均匀即可。

五、结语

本文解释了电阻的微观机理和相关的热电现象。文章建立了电子运动时所受阻力与速度成正比这一模型，简单地描述了电子在电阻中受到的阻碍作用，忽略阻力来源的细节，也没有给出比例系数a与材料的具体关系;在探究温差电现象的时候，将电子在导体中的运动情况类比成理想气体也缺乏准确性。这些都可以在接下来的研究中改进。

文章的方法在用来解释热电现象时会非常直观，避免了像文献[4]中的复杂的微积分推导过程，能够帮助初学者建立起良好的物理图像，有助于理解热电现象的物理本质。

参考文献

[1]岳筱萍，王智甫.电子运动速度研究[J].新乡师范高等专科学校学报，2003（05）：9-10.

[2]唐德翔，郭昭全.关于金属导体中晶格点阵对载流子阻力作用的讨论[J].物理教学探讨，2011，29（12）：35-38.

[3]王建华.关于平均自由程=1/（2^（1/2）πd^2 n）中的2^（1/2）[J].武汉水利电力大学学报，1997（04）：112-113.

[4]梁斌.温差电动势公式的理论推导[J].西安建筑科技大学学报，1996（01）：95-99.