培养学生建立和运用数学模型的能力

徐灿根

摘 要：数学模型是一种重要的数学思想方法，经历和建立数学模型既是一个不断数学化的过程，更重要的是能提高学生解决问题的能力。那么如何在课堂教学中培养学生建立和运用数学模型的能力呢？这是每个数学教师要思考的问题。

关键词：数学化；模型化；问题解决能力

在《义务教育数学课程标准》中，对数学模型思想进行了具体的描述。“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数学关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。”

我们如何在课堂中有意识地渗透数学模型思想，培养学生建立模型和运用模型解决问题的能力呢？下面就以六年级“抽屉原理”为例，谈谈在这方面粗浅的认识。

一、现实问题数学化

现实问题有现实性和具体性，这类问题来自于生活，能够提高学生的学习兴趣。而数学来源于生活却又高于生活，具有很大的概括性和抽象性。要让学生建立数学模型，必须要把现实的问题数学化，这是建立数学模型的基础。因此，在课前我为学生提供了大量的富有挑战性的数学问题。

首先，为激发学生的学习兴趣，我们做了一个小游戏。老师转过身去，班上随便站起三个学生来让老师猜，老师一定能猜中。学生当然不信，于是老师就出示猜的结果：在这任意三个人中，至少有两个人的性别是相同的。

这时，从学生的脸部表情看，一部分人非常肯定，而且有部分学生已经悟出了其中的奥秘。我要求学生用自己的方法来证明老师的猜测。从学生的反馈情况来看，主要有两种，一种是用图表示出了结果，我就引导学生用图把各种现象都表示出来。另一种用语言来描述，他们认为，因为性别只有两种，如果第一个站起来的是男的，第二个站起来的是女的，那么第三个站起来的肯定是前面两个中的一个，所以至少有两个人的性别是相同的。

接下来，我又给学生提供了研究的材料。4个苹果放入3个盒子中，总能找到1个盒子至少放了两个苹果。这句话对吗？为什么？这时，学生就按照刚才研究的方法，用画图举例法，用语言描述等来证明结论的正确性。当然，在这里，我们就不能仅仅满足于这些了，我们要通过两个问题的解决，抽象地概括出数学的方法。于是，当一个学生说先每个盒子放1个，就放了3个，这时还剩1个，这个苹果无论放入哪个盒子，都至少有两个了的时候，我就问：“你们能把刚才这位学生描述的用数学的方法表示出来吗？”于是学生就想到了这种方法就是以前学过的有余数的除法。

到此为止，我的第一个目标已经达成，即把刚才一些对现实问题各种各样的解决方法，抽象成了用数学的方法來解决，让学生感受到了数学方法的抽象性、方便性。

二、数学方法模型化

在学生形成数学方法后，我们还要对这些数学方法进行进一步的观察、推测、归纳和验证，在不断猜测、肯定、否定的过程中建立正确的数学模型。

1.在学习了3个苹果放入两个抽屉，至少有几个苹果放在同一个抽屉里，5个7个、9个呢？学生通过观察发现结果都是商加上余数。于是马上有学生提出来了，只要商加上余数就行，大部分学生表示认同。为了让学生验证结论的正确性，我提出了如果5个苹果放入3个抽屉，会有什么结果？这时马上有两种答案产生，一种是用商加余数，所以认为至少有3个。而另一种认为最后两个不应该放入一个盒子，为了让抽屉里的苹果数尽可能的少，必须分开来放。经过讨论，学生马上认同了第二种答案。我又适时地问：“那么你们觉得刚才总结出来的方法对不对，可以怎样修改？你自己举例验证一下。”于是，学生马上想到了无论余数是多少，商只要加上1就行，因为剩下的苹果必须分开来放，才能保证最少。

2.当然学生到这儿还远没有达到建立数学模型的程度。所谓

数学模型，就是要概括出这类问题的共同特征，从而提高学生分析和解决问题的能力，最后我就引导学生把具体的抽屉问题一般化。建立抽屉问题的数学模型，先要分析哪些是待分物品，有多少只抽屉，然后再用我们总结出的数学方法，即待分物品除以抽屉数，得到的商加上余数1就可以求出至少有几个物品放入同一个抽屉。到此，学生对抽屉原理的数学模型也就完全地建立了。

三、运用数学模型解决实际问题

在学生经历了数学模型，掌握了数学模型之后，最后的环节就是要灵活运用数学模型，解决实际问题。用所建的数学模型解决实际问题，让学生体会到数学模型的实用价值，体验到所用知识的用途和益处，进一步培养学生应用数学意识和数学知识解决实际问题的能力，让学生体验实际运用带来的快乐。

于是，我选择了一道课堂作业本上的作业：“六年级一班共有46位学生，大家做同一道题，做对得2分，不做得0分，做错得-1分。问至少有几个学生的得分是相同的？”这道题中就明显地没有了苹果和抽屉的痕迹，这就需要学生运用建立的数学模型去分析什么是待分物品，什么是抽屉。学生经过分析，马上找到了46位学生就是待分物品，2分、0分、-1分就是抽屉，共有三只抽屉。问题到这儿也就迎刃而解了。

在课的结束之际，为巩固学生新建立的数学模型，我设计了一道开放题，让学生也像课前老师做的游戏一样，设计一个相似的游戏。

数学建模的过程，是一个抽象和概括的过程，是一个不断数学化的过程。让学生经历这样一个过程，收获基本的数学思想方法，提高解决问题的能力，培养不断创新的能力，让学生体验到成功的喜悦。

编辑 郭小琴