执行器饱和的非线性时滞系统控制问题

许可心

摘要：本文主要研究带有执行器饱和的非线性时滞系统控制问题。首先，采用状态反馈和辅助时滞反馈的凸组合处理系统中的饱和项，其次，基于Lyapunov稳定性理论，利用自由权矩阵、积分不等式等方法，给出了系统渐近稳定的充分条件，并给出状态反馈控制器的设计方案。

关键词：连续系统;稳定性;执行器饱和;线性矩阵不等式

中图分类号：O175.13 文献标识码：A 文章编号：1007-9416（2019）02-0212-03

0 引言

执行器饱和广泛存在于实际控制系统中，它会降低闭环系统的性能，造成严重的后果，近年来，执行器饱和控制问题得到学者们越来越多的关注[1-2]。处理饱和项的常用方法中，Hu等[3]提出的凸组合法主要是通过引入一个辅助矩阵H，将集合不变性条件转化成线性矩阵不等式，大大降低了保守性。2002年，Cao[4]将[3]中的集合不变性条件推广到状态带有时滞的连续系统中，分别用时滞无关和时滞相关方法给出不变性条件。Song[5]对带有执行器饱和连续时滞系统的量化反馈稳定性进行了研究，建立了时滞无关和时滞相关的条件。在Zhou[6]的多面体方法基础上，Chen等[7]首次将饱和项表示为状态反馈和辅助时滞反馈的凸组合，对L-K泛函下界进行精确估计。但是上述文献均未考虑带有非线性扰动时系统的情况。

因此，本文考虑具有执行器饱和的非线性时滞系统，结合Lyapunov-Krasovskii泛函、自由权矩阵、积分不等式等得到系统渐近稳定的充分条件，并转化为线性矩阵不等式。

1 问题描述

考虑系统：

（1）

其中是状态向量;是控制输入向量;为时滞常数;为适当维数的实矩阵;表示饱和非线性函数，定义如下：

，

其中;

为非线性扰动，满足如下范数条件：，其中。

本文设计如下反馈控制器：

（2）

其中为反馈增益矩阵。

根据[7]中的引理1，对于满足的向量以及，则饱和项表示为，其中，且。

假设存在矩阵使得对于，以下条件成立：

（3）

對应的闭环系统为：

（4）

其中，且。

2 稳定性分析

定理1：对于给定标量和，若存在对称矩阵以及任意矩阵使得对，以下矩阵不等式成立：

（5）

（6）

其中为矩阵的第行，且

，

，

，

，

则对于满足的，在反馈矩阵下闭环系统（4）渐近稳定。

证明：构造以下形式的L-K泛函：

，

其中。

则有：

（7）

运用Jensen不等式：

（8）

对于适当维数的矩阵，有：

（9）

由不等式得到：

（10）

。      （11）

则可以得到：

（12）

其中

由不等式（12）可知，若成立

（13）

则有。进一步得到，

对于定义的，运用Jensen不等式可知。

其中：

，

记那么有

若成立，

（14）

则有：

（15）

进一步可推出假设（3）成立。

而利用Schur补定理，（14）式等价于：

（14）′

因此，综上所述，当（13）和（14）′式成立时，在反馈矩阵下闭环系统（4）是渐近稳定的。

接下来令矩阵.

最后通过矩阵变化，不等式（13），（14）′与不等式（5），（6）分别等价。证毕。

参考文献

[1] Xin-Quan Zhang，Xiao-Yin Li，Jun Zhao.Stability Analysis and Anti-windup Design of Switched Systems with Actuator Saturation[J].International Journal of Automation and Computing，2017，14（05）：615-625.

[2] Yonggang C ， Zidong W ， Bo S ， et al. Exponential Synchronization for Delayed Dynamical Networks via Intermittent Control： Dealing With Actuator Saturations[J]. IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems，2018：1-13.

[3] Hu T ， Lin Z ， Chen B M . An analysis and design method for linear systems subject to actuator saturation and disturbance[C]// American Control Conference. IEEE，2002.

[4] Cao Y Y ， Lin Z ， Hu T . Stability analysis of linear time-delay systems subject to input saturation[J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I： Fundamental Theory and Applications，2002，49（2）：233-240.

[5] Gongfei Song，James Lam，Shengyuan Xu. Quantized feedback stabilization of continuous time-delay systems subject to actuator saturation[J]. Nonlinear Analysis Hybrid Systems，2018， 30：1-13.

[6] Zhou， Bin. Analysis and design of discrete-time linear systems with nested actuator saturations[J]. Systems & Control Letters，2013，62（10）：871-879.

[7] Chen Y ， Fei S ， Li Y . Stabilization of neutral time-delay systems with actuator saturation via auxiliary time-delay feedback[J].Automatica，2015，52（C）：242-247.

Control of the Nonlinear Delayed System with Actuator Saturation

XU Ke-xin

（Sch of Math Sci，Yangzhou Jiangsu  225002）

Abstract：This paper mainly studies control of the nonlinear delayed system with  actuator saturation.Firstly，the saturation nonlinearity is represented as the convex combination of state feedback and auxiliary time-delay feedback.Secondly，by employing the Lyapunovs stable theory ，free-weighting matrix technique，combing with integral inequalities， sufficient conditions for the asymptotically stability of the system and the design scheme of the state feedback controller are proposed.

Key words：continuous system; stability; actuator saturation;linear matrix inequality