正余弦定理的一体化教学研究

杨旭

【摘 要】正弦定理和余弦定理搭建了三角形边和角的桥梁，实现了边角之间的转化，直接运用它，可以直接求解三角形，灵活地变形并与其他知识结合，可以解决现实生活中的问题。

【关键词】正弦定理；余弦定理；教学；三角形

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）10-0016-01

一、正余弦定理

正弦定理是三角形学中的基本定理，它表示：在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。如图1，是一个三角形，其正弦定理的公式表达式是：

余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理，其公式表达式是：

二、教学重点与难点

正弦定理的探索和证明及其基本应用。新知探究

1.提出问题：三角形中有大边对大角，小边对小角。能得到这个边、角关系的准确量化吗？

2.解决问题：回忆直角三角形中的边角关系，根据正弦函数的定义有：

c=a/sin A，c=b/sin B， sin C=1. a/sin A = b/ sin B= c/ sin C

问题：这个结论在任意三角形中都成立吗？当△ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据锐角三角函数的定义，有 CD=asin B，CD=bsin A。

由此，得a/ sin A= b/ sin B， 同理可得c /sin C= b/ sin B，故有a/ sin A= b/sin B=c/ sin C

同理可得在钝角三角形中该结论仍然是成立的。从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。

正弦定理：a/ sin A= b/sin B=c/ sin C

一般地， 我们把三角形的三个角 A，B，C 和三条边 a，b，c 叫作三角形的元素，已知其中几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。

例 1 在 △ABC 中 ，a，b，c 分 别 是 角 A，B，C 的 对 边 ，c =√6，a=2，C=120°，解三解形 。

解：由正弦定理a/ sin A =c/ sin C可得 sin A=asin C/c=2sin120°/√6=√2/2

∴A=45°或 135°，∵c>a∴C>A∴A=45°，B=180°-（A+C）=15°，由正弦定理a/ sin A= b/sin B可得 b= asin B/sin A =2sin15°/ sin45°=√3-1

三、正余弦定理的应用

1.测量距离问题。

在解决距离问题时，需要先选取合适的辅助测量点，然后构造出三角形，进而转化成三角形的边角关系，最后利用正余弦定理来解决。测量距离的问题一般分为两点间不可通也不可达、两点间可视但不可通和两点可视但均不可达三种情况。按照解决测量问题的方法，我们可以转化为数学模型，构造出一个三角形，再通过正余弦定理求解。

1.1 两点间不可通也不可达。如图 2所示，随机选取不同于 A、B 两点的点 C，构造出△

ABC，根据余弦定理，求得

1.2 两点间可视但不可通。第二种情况是两点可视但不可通，如图 3所示，假设这是一条小河，则在小河的一边任意选择点 C，构造出△ABC，再由正弦定理得：AB/sinC=BC/sin（π-B-C），化简得AB= BCsinC/sin（π-B-C）。

2.测量高度问题。

对于高度問题一般可以转化为三角形的边角问题，有时候还需要结合几何知识，而对于高度问题，可以分为底部可达和不可达两种情况。如图4，是底部可达的情况，可求得高度：

第二种情况，我们需要自己构造新的三角形，如图5所示，我们可以任意找两点C、D，利用测量仪器，可分别测出∠ACD=α，∠ADB=β。首先，在△ACD中，可利用正弦定理，AD/sinα=CD/sin（β-α），则AD=αsinα/sinβ-α。最后在直角△ABD中，AB=ADsinβ=αsinαsinβ/sinβ-α。

四、教学建议

教师在平时的教学中应重视学生的常规思维训练并使其牢固掌握通性通法，使学生能够在题中的已知信息中寻得未知量的表示形式并根据题目正确选择使用正弦定理或余弦定理。涉及sin A或sin B或sin C时要联想到正弦定理，涉及cos A或cos B或cos C时要联想到余弦定理。需要教师注意的是，这只是一种帮助学生思考的定式，有时候也会存在不同的情况，不过这种定式思维对于应付考试还是大有裨益的。

应引导学生对正、余弦定理的内涵形成正确而深刻的认识，使学生在实际应用中能够正确而快速地作出选择。教师在教学中完全可以放手让学生多加练习并使学生的思维得到拓展。不过，教师在此类题目的解题教学中也应强调解题思路的辨析，否则学生往往可能产生定理运用混乱并盲目做题的行为。

对两个定理的变形进行反复训练，使学生能够牢固掌握这几种形式。教师在实际教学中可以引导学生自己动手对两种定理进行变形，学生在自己进行变形练习的过程中能够形成更好的记忆。

正、余弦定理是解三角形的重要定理，在几何证明中也有广泛应用。在一些较复杂的几何题目中，边角关系并不明显，往往角之间存在某种易被忽视的关系（如互补、对顶角等），这种关系为应用正、余弦定理解题搭建了桥梁。因此，在解决一些复杂几何问题时，注意到这些易被忽视的特殊角关系，在解题过程中应用正、余弦定理，往往能够出奇制胜。

参考文献

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