2011年江苏解析几何试题的逆向探究与延伸

广东省华南师范大学附属中学汕尾学校(516600) 刘光明

广东省华南师范大学附属中学(510630) 吴周伟

解决数学问题,不应该是学习数学知识的全部,更重要的是解题之后的回顾与反思.圆锥曲线承载着逻辑推理和数学运算素养,是历年高考中的必考题,汇聚着专家的智慧结晶,挖掘其规律及本质,方能把握通性通法,触类旁通.本文借助几何画板的动态演示功能探索2011年江苏高考数学的解析几何试题的逆命题及其内接三角形面积的延伸拓展,发现其逆命题成立,同时发现椭圆内一个内接三角形面积的最大值(定值),整理成文,与读者共享.

1.试题呈现,品经典

题目(2011年江苏高考数学第18题节选(3))如图1,在平面直角坐标系xOy中,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中P在第一象限,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为k,对任意k＞0,求证：PA⊥PB.

图1

试题的解答不作为讨论重点,故省略,其更一般性结论可以参考文献[1]中刘友明老师所阐述内容,在此摘录两个与讨论相关的结论如命题1和命题2.

命题1椭圆Γ:=1(a＞b＞0),且a2=2b2,过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,则PA⊥PB.

命题2椭圆Γ:=1(a＞b＞0),过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线PA的斜率为kPA,直线PB的斜率为kPB,则

评注“设而不求”就是设出点的坐标,但目的不是求出坐标,而是通过它作为媒介寻求变量间的关系,确立解题目标,简化运算和快速准确解决问题.通常采取设“两点一线”或者“点差法”进行推理.读者可以采取“设而不求”推导以上的命题.

2.逆向探究,求完美

几何画板是动态探索的一个重要工具,尤其是借助几何画板探索解析几何问题,通常都能直观化的解决问题和挖掘规律.通过几何画板,得到2011年江苏高考数学解析几何试题逆命题的一般结论,阐述论证如命题3.

命题3椭圆Γ:=1(a＞b＞0),过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,若a2=2b2,且PA⊥PB,直线AB与x轴交于点C,则直线PC⊥x轴.

证明由题意可设直线PA的斜率为k,则直线PA的方程为y=kx,故点P(x0,kx0),所以直线PB的方程为消去y可得则所以将其代入直线PB的方程可得设点C(xC,0),因为A,B,C三点共线,因此即

化简整理可得

解得xC=x0,因此直线PC⊥x轴.

数学的魅力因其完美的对称性而活力四射,原命题和逆命题恰好渗透着数学命题的对称.因此,在培养学生数学探究能力和创新能力时应该首先让学生去感受数学的对称美.

3.延伸拓展,显创新

波利亚所说“解数学题就像采蘑菇一样,当我们发现一个蘑菇时,在它的周围可能有一个蘑菇圈”.弦长、面积问题和最值问题是解析几何的常见问题,解决了高考真题后,自然联想到椭圆内接△PAB的面积及其最值问题,详细阐述和论证见命题4、命题5和命题6.

命题4椭圆Γ:过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,设直线PA的斜率为k,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,则△PAB的面积的最大值为此时直线PA的斜率为k=1.

证明设点P(x1,y1),A(x2,y2),由题意直线PA的方程为y=kx,联立消去y可得(2k2+1)x2-4=0,则x1+x2=0,x1x2=解得于是|PA|=故直线AC方程为直线PB方程为联立

又PA⊥PB,根据椭圆的对称性,不妨设k＞0,所以

又-2k4-3k2-2＜0,令f′(k)＞0,解得0＜k＜1,令f′(k)＜0,解得k＞1,所以函数f(k)在区间(0,1)上递增,在区间(1,+∞)上递减,因此当k=1时,函数f(k)取得最大值

命题5椭圆Γ:且a2=2b2,过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,则当直线PA的斜率为kPA=1时,△PAB的面积取得最大值

其中命题5的证明可参照命题4的证明过程进行,有兴趣的读者可自行推导,在此不作赘述.通过几何画板的动态探究,可以得到其中更一般的结论即命题6,其详细表述和论证如下文.

命题6椭圆Γ:过坐标原点O的直线交椭圆Γ于P,A两点,过P作x轴的垂线,垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,则当直线PA的斜率为时,△PAB的面积取得最大值

证明由已知直线PA的斜率存在,不妨设为k(k≠0),方程为y=kx,设点A(x0,kx0),P(-x0,-kx0),因为点P(-x0,-kx0)在椭圆所以

又直线AC斜率故直线AC方程为y=联立消去y可得

将(∗)代入(∗∗)式可得

解析几何问题是培养函数与方程思想的主要阵地,但由于学生对已知条件的转化不充分,计算能力不过关,导致学生产生畏惧心理.全国卷近几年的解析几何的难度相比其它试题和以往试卷呈现下降趋势,故而在教学中不出太难题以鼓励学生在此处得分,提升解析几何解答的自信心.重视利用圆锥曲线的定义解题,以定点、定值、最值、范围、存在性问题等微专题形式讲透、练透常用的途径与思路.关注函数思想方法和运算方法的优化与简化,充分运用类比和猜想挖掘解析几何的横纵联系,培养学生思维的整体性和灵活性.