中考数学中极端法问题的考查功能分析

2019-05-15 07:47唐绍友
理科考试研究·初中 2019年4期
关键词:化归思想负面影响数形结合

唐绍友

摘要:极端法是通过考虑问题的极端状态,探求解题方向或转化途径的一种常用方法.具有如下积极的考查功能:有利于数形结合思想的考查;有利于转化与化归的数学思想的考查;有利于运动变化中的空间想象能力的考查.当然也有一定的消极功能:负面影响高中函数最值理论的学习;负面影响高中解析几何理论的学习.

關键词:数形结合;化归思想;空间想象;负面影响

极端法是通过考虑问题的极端状态,探求解题方向或转化途径的一种常用方法.在中考中主要表现为如下形式:一是在研究几何变量(包括动点、动线、动角、动图等)中,以几何变量的极端位置为主要研究对象,探求问题的结论,必要时再进行一般性的讨论;二是在研究代数问题中,通过考察代数变量的极值为突破口,寻找解决思路.这种问题具有较强的综合性,考查的知识点较多,考查的数学思想方法层面较高,所以在中考中命制这类问题,具有如下积极的考查功能:有利于数形结合思想的考查;有利于转化与化归的数学思想的考查;有利于运动变化中的空间想象能力的考查.当然也有一定的消极功能:负面影响高中函数最值理论的学习;负面影响高中解析几何理论的学习.

1极端法问题积极的考查功能

1.1有利于数形结合思想的考查

数形结合思想是最基本的数学思想之一,所以在中考中占重要地位,特别是几何问题代数化与代数问题几何化等问题都集中体现了这一数学思想,在相当多省市的中考试卷中出现了极端法与数形结合的综合问题,让试题更具特色,使试题的解法更具活力,对思维深刻性的考查更有层次性.

例1 (2012年安徽中考)如图1,点A在半径为2的?O上,过线段OA上的一点P作直线l,与?O过点A的切线交于点B,且?APB=60°,设OP=x,则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是()(注:求解本题时可将点视为三角形的特殊情况),

分析由于点P是线段OA上的动点,所以容易想到点P的两个极端位置O与A.当点P在O处时,y取得最大值;当点P在A处时,y=0,故可以排除选项A与C,但这两个极端位置无法判断选项B与D的正确性,所以从图形抽象数量关系

考虑,由此可知选项B错,D对.当然本题也可不求函数关系,只需一个特殊点,比如取OA的中点P,计算出此时的y=,

而选项B的图象对应y=,

只有选项D符合要求.本题的解决是通过几何图形的特殊点(包括极端位置)提炼数量特征(由图到数),再从数量特征回到图象(由数到形),分析图象的正确性,显然是对数形结合思想的重点考查.

例2 (2012年珠海中考)如图2,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A(1,0)及点B.

(1)求二次函数与一次函数的解析式;

(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.

分析(1)容易求得二次函数是y=(x-2)2-1,一次函数是y=x-1;

(2)因为A、B坐标为(1,0),(4,3),所以当kx+b≥(x-2)2+m时,1≤x≤4.A,B是满足不等式hx+b≥(x-2)=+m的两个极端位置,最后得到结论1≤x≤4,其依据是图形.思路是先求出极端位置的坐标(即代数特征),再由这个代数特征控制图形特征:线段AB在抛物线段的上方,端点重合.本题实现了极端位置的代数特征与图形特征相融的命题目标,正是数形结合的标志.

1.2有利于转化与化归数学思想的考查

加强转化与化归思想的考查一直是中考的主流,包括数与形、方程与函数、高次与低次、特殊与一般、未知与已知、正面与反面、整体与局部、分散与集中等之间的相互转化都是重要的转化形式,利用极端值问题可以实现其中的一些转化目标.比如求范围问题有时可以转化为求边界值问题,根据动点条件选择函数图象问题,可以转化为研究动点在一些极端位置的情形.

例3 (2012年嘉兴中考)如图3,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B→D→C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是().

分析按常规求出y与x之间的函数关系式可以找到答案,但运算量大.若取几个特殊点验证图象,更容易找到正确答案.当点P运动到BD的中点时,此时,函数图象应该在第二段中点处取得最小值,这样可排除选项B,当点P运动到点C时,函数图象应该在第三段右端点取最大值,且此最大值比其它值都大,这样可确定选项D正确.考查这样的问题,有利于考查转化思想,将选择整体图象问题转化为研究原图形与图象的几个关键点,体现了整体与局部、一般与特殊之间的转化.

例4(2014年北京东城一模)已知:关于x的一元二次方程mx2-(4m+1)x+3m+3=0(m>1).(1)求证:方程有两个不相等的实数根;

(2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中x1>x2),若y是关于m的函数,且y=x1-3x2,求这个函数的解析式;

(3)将(2)中所得的函数的图象在直线m=2的左侧部分沿直线m=2翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答:当关于m的函数y=2m+b的图象与此图象有两个公共点时,b的取值范围.

分析(1)略;(2)y=-3/m(m>1).

(3)作出函数y=-3/m(m>1)的图象,并将图象在直线m=2左侧部分沿此直线翻折,所得新图形如图4所示.易知点A,B的坐标分别为A(3,-3),B(2,-3/2).当直线y=2m+b过点A时,可求得b=-9;过点B时,可求得b=-11/2;因此,-9

第(3)问的成功解决,是将求范围问题转化为求两个极端值问题.其主要依据是根据图形特征抽象代数特征.

1.3有利于运动变化中的空间想象能力的考查

课标指出:“在探索图形的性质图形的变换以及平面图形与空间几何体的相互转换等活动过程中,初步建立空间观念,发展几何直觉.”这说明图形的运动变化是几何的重点内容,在图形的运动变化中抽象数量关系,特别是通过图形的极端位置,寻找数量关系有利于抓住问题的关键,从而找到问题的解决思路.这恰好是中考的主要题型之一.

例5(2014年北京西城一模)抛物线y=x2-kx-3与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点B坐标为(1+k,0).

(1)求抛物线对应的函数表达式;

(2)将(1)中的抛物线沿对称轴向上平移,使其顶点M落在线段BC上,记该抛物线为G,求抛物线G对应的函数表达式;

(3)将线段BC平移得到线段BC(B的对应点记作B,C的对应点记作C),使其经过(2)中所得抛物线G的顶点M,且与抛物线G另有一个交点N,求点B到直线OC的距离h的取值范围.

分析(1)y=x2-2x-3;

(2)y=x2-2x-1;

(3)作OE⊥BC于点E.所以BC=BC=32,OE=1/2BC=32/2.所以SxoprCr=-OC.h=tBC.OE

所以5≤0C≤/17.所以9/17≤h≤.9√5.

第(3)问在平移线段BC的过程中,虽然线段BC的位置变了,但是长度是不变的,且原点0到线段BC所在直线的距离是不变的,即△BCO的面积是不变的,所以求点B到OC的距离h变化范围,即需求0C的取值范围,找到OC的两个极端位置即可.在本题的解决过程中,发现面积不变量与OC的变化范围是关键,其主要依靠空间想象能力对图形的分析,发现不变量與可变量,从而抽象出数量指标.

2消极功能

2.1负面影响高中函数最值理论的学习

由于中考极端值问题的解决思路是通过观察极端位置情况,依据极端位置建立数量关系,求出相应的代数指标,从而指出未知量的取值范围就夹在这两个极端值之间,而缺少了严格的论证,从而产生负迁移.求函数最大值与最小值或求函数值域时,相当部分学生代区间端点值求出函数的对应值,就默认为是函数的最值,由此产生一些误区.事实上,只有当函数在给定定义域上具有单调性才能利用端点函数值代替函数最值或函数边界值

例7(2012年北京中考)已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+,在x=0和x=2时的函数值相等.

(1)求二次函数的解析式;

(2)若一次函数y=kxx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值;

(3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B.在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位后得到的图象记为G,同时将(2)中得到的直线y=hx+6向上平移n个单位.请结合图象回答:当平移后的直线与图象G有公共点时,n的取值范围.

分析(1)y=-x2+x+3/2;(2)k=4;(3)由题意可得B、C的坐标分别为(-1,0),(3,0).平移后,点B、C的对应点分别为点B(-1-n,0),C”(3-n,0).将直线y=4x+6平移后得到直线y=4x+6+n,当直线y=4x+6+n过点B(-1-n,0)时,图象G(点B除外)在该直线右侧,可得n=气;当直线y=4x+6+n经过点C(3-n,0)时,图象G(点C除外)在该直线左侧,可得n=6,所以由图象可知,符合题意的n的取值范围是2/3≤n≤6.

第(3)问解决的关键在于找到两个极端位置对应的n值,这里容易产生质疑:①为何直线过点B时是一个极端位置,直线与抛物线段BC相切的位置是否为极端位置?②为何n的取值就夹在这两个极端值之间?缺少严格的论证.当学生大量练习此类问题之后,自然形成定势习惯:求范围者,找极端位置也从而负迁移到高中函数最值理论的学习,无论函数单调与否,都代端点值求值,默认其值就是最值.

2.2负面影响高中解析几何理论的学习

由于解极端值问题思路的影响,在高中解析几何中负迁移尤其突出遇到求范围问题,就急于找到两个极端位置,算出两个对应值,就默认范围夹在这两个值之间.事实上没有充分的理由说明,是不一定可靠的.比如求y轴上一定点P到椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上点的距离的取值范围.就不是简单地找两个极端位置的对应取值,而是建立函数关系,找到定义域,研究函数最值才能正确求解.所以在初中解决极端位置问题,能用科学定量的方法求解的,在生源较好的班级可以做一些尝试,当然不能超纲,以实现初高中之间的衔接,这样可减少负迁移的影响,

例8(2014年北京西城二模)经过点(1,1)的直线l:y=kx+2(k≠0)与反比例函数Gi:y1=m/x(m≠0)的图象交于点A(-1,a),B(b,-1),与y轴交于点D.

(1)求直线l对应的函数表达式及反比例函数G的表达式;

(2)反比例函数G2:y2=-(t≠0),

①若点E在第一象限内,且在反比例函数G2的图象上,若EA=EB,且△AEB的面积为8,求点E的坐标及t值;

②反比例函数G2的图象与直线l有两个公共点M,N(点M在点N的左侧),若DM+DN<312,直接写出t的取值范围.

分析(1)y=-x+2;y=-3/x;(2)E(3,3);(3)用极端位值法解决即先算极值.

①当t<0时,令DM+DN=32,则DM=3222/2=2/2.由此可知,M(-1/2,5/2),代入y=t/x

得t=-5/4

此时-_5

②当t>0时,DM+DN=22<312,只需直线l与双曲线y=,相交即可.由△>0解得0

这种方法充分利用图形特征,显得直观感性,但缺少理性分析与定量分析.比如:算出极值t=-二时,为什么确认答案是-5/4

其解题方法如下:

当t<0时,由t得x2-2x+t=0.

因为t<0,所以△=4-4t>0.

所以x=2+√4-46.=1+/T-i.2

所以M(1-/T-t,1+/1-t),N(1+/1-t,1-V1-t).

所以DM+DN=√(1-√1-)*+(√1-t-1)+√(1+√1-t)*+(--i-1)=12(1-1-1)+小2(1+/1-1)=2/2v1-i<3/2.

即1-t<所以9解得-5/4

这种方法是极其严谨而理性的,对初高中数学方法的衔接具有一定的积极意义.

总而言之,极端位置法问题在中考中要慎用,不能过多,在命制有关问题时,要注意到求解方法最好能多途径入手,既能通过极端位置法考虑,也可用科学定量法,通过严格论证,得到正确答案,这样有利于实现感性思维向理性思维过渡,既有利于初高中之间的衔接,又可以减少对高中数学学习的负迁移.

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