一道二次函数题目引发的思考

刘道祥 王莉

摘要：本文从一道关于二次函数试題开始，对学生加强待定系数法的认识提出了灵活变通的思路，对于题目中没有给函数解析式的，可以设合适的函数解析式，然后求解;对于题目中给了函数解析式的，如果可以直接使用解析式，那么可以用题目给的解析式进行求解，但是如果利用题目给的解析式难以求解，那么可以灵活变通，重新设函数解析式，求解后，再化成题目给出的函数解析式的形式.

关键词：待定系数法;二次函数解析式;转换思路

2018—2019学年第一学期期末考试阅卷已经结束了，在批改试卷过程中，发现学生对待定系数法的使用存在局限性，不会灵活变通，二次函数是在人民教育出版社出版的义务教育教科书数学九年级上册第39页进行了探究，但是本部分为选学内容，教师在讲解此部分内容时，只是抛砖引玉，并未深入讲解.恰逢九年级期末考试，在批改《隆湖一站学校2018—2019学年第一学期八年级数学期末试卷》中第26题时，发现学生得分率很低，具体原因是学生不能灵活变通的对待已知中给出的抛物线解析式，容易陷入题目中的陷阱.希望通过对这个题目的分析，可以给学生以新的认识及理解.

1试题呈现

题目（隆湖一站2018—2019学年第一学期九年级数学期末第26题）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x=1，已知A（-1，0）、C（0，-3）.

（1）求抛物线y=ax？+bx+c的解析式;

（2）求OAOC和△BOC的面积比;

2参考答案

此题的考点是用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与x轴的交点坐标.其中由于二次函数的图象就是抛物线，一般来讲求抛物线的解析式与求二次函数的解析式是同一个含义，所以本文中出现抛物线与二次函数时均表示同一含义.一般情况下，学生接受的观点是，如果题目中没有给出二次函数的解析式，那么需要设二次函数的解析式，然后用待定系数法进行求解;如果题目中给出了二次函数的解析式，那么不需要设二次函数的解析式，直接使用题目中的解析式，用待定系数法求解即可.

本题的出卷教师给出的参考答案是：

解（1）因为点A（-1，0）与点B关于直线x=1对称，所以B（3，0）.

因为A（-1，0），B（3，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）（a≠0）.

因为点C在抛物线上，所以-3=a（0+1）（0-3）.

解得a=1.

所以抛物线的解析式为y=（x+1）（x-3）.

即y=x-2x-3.

（2）因为A（-1，0），B（3，0），所以0A=1，OB=3.

所以△AOC和△BOC的面积比等于

从出卷教师给出的参考答案可以看出，在第（1）问求二次函数的解析式时，并没有直接使用题目中给出的解析式的形式，而是先利用二次函数的图象抛物线的轴对称的性质，求出了抛物线与x轴的另一个交点，将抛物线的解析式设成了二次函数的交点式，代入点进行求解，从而求出抛物线的解析式，通过化简，最终得到抛物线解析式的一般形式

3学生错解

下面给出学生在做本题第（1）问时出现的一种常见的错解.

解因为点A、点C在抛物线上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+e.①

-3=ax02+bx0+c.②

因为对称轴为直线x=1，

所以b=1.③

联立①②③，解得{b=1

所以抛物线的解析式为y=4x2+x-3.

从这个学生的错误解题过程可以看出，学生对抛物线的对称轴不知道如何使用，而学生在学习二次函数的图象和性质时，已经知道对于二次函数y=ax2+bx+e，它图象的对称轴为x=--，所以对于本题，因为抛物线的对称轴为直线x=1，所以应得到-”=1.

4试题解析

下面给出本题的第（1）问的另外三种解法：

解法1因为点A、点C在抛物线上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+c.①

-3=ax0”+bx0+c.②

因为对称轴为直线x=1，所以--=1.③

联立①②③，解得{b=-2

所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

解法2因为抛物线的对称轴为直线x=1，

所以可设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+k.

因为点A、点C在抛物线上，

所以0=ax（-1-1）2+h.①

-3=ax（0-1）”+h.②

ra=1联立①②，解得

所以抛物线的解析式为y=（x-1）2-4.

即y=x2-2x-3.

解法3因为点A与点B关于直线x=1对称，所以B（3，0）.

因为点A、点B、点C在抛物线上，

所以0=ax（-1）2+bx（-1）+c.①

0=ax32+bx3+c.②

-3=ax02+bx0+c，③

联立①②③，解得{b=-2

所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

从本题的多种解法可以总结如下，对于使用待定系数法求解函数的解析式时，如果题目中给出了函数解析式的形式，在具体解题过程中，可以使用给定的函数解析式的形式，亦可以不使用给定的函数解析式的形式，比如上面给出的解法2和出卷教师给出的参考答案，这两种解法在求解本题时，大大的降低了试题的难度，跳过了试题给出的障碍.

比如下面这个题：

已知关于x的一次函数y=（a+3）2x+m+20，经过点A（2，0）和点B（0，3），那么这个一次函数的解析式为

此题可以选择将点A（2，0）和点B（0，3）代入题目给定的y=（a+3）2x+m+20进行求解，得到a和m的值，然后代回y=（a+3）2x+m+20，从而得到这个一次函数的解析式，虽然此方法可以求出这个一次函数的解析式，然而，换个思路，设这个一次函数的解析式为y=hx+b，然后将点A（2，0）和点B（0，3）代入题目给定的y=hx+b进行求解，得到k和b的值，从而得到这个一次函数的解析式，对比这两个计算过程，可以发现，重新设这个一次函数解析式，然后求解得到答案的过程明显快于直接使用已知条件中给的函数解析式的形式.

综上可以看出，在用待定系数法求函数解析式时，要学会灵活变通的使用已知条件，如果题目中没有给出二次函数的解析式，那么需要设二次函数的解析式，然后用待定系数法进行求解;如果题目中给出了二次函数的解析式，那么不需要设二次函数的解析式，直接使用题目中的解析式，用待定系数法求解即可，但是如果题目给出的函数解析式的形式不方便或者不容易求解，则不一定非得按照题目给出的解析式的形式进行求解，完全可以根据题目中给定的已知条件，设合适的解析式的形式进行求解，这样反而可以提高解题的效率，

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范出版社，2012.