一道含45°角问题的解答与反思

罗峻 段利芳

摘要：45°角是平面几何中一个特殊角，它与等腰直角三角形有密切的联系.本文以--道含45°角的平面几何问题为例，剖析如何用好45°角.

关键词：45°角;构造;启示

45°角的条件在平面几何问题中比较常见，常常需要构造等腰直角三角形，并结合已知条件和图形的性质来解决问题.下面，让我们一起来解答一道含45°角的平几问题，体会含有45°角问题的构图方法.

1试题呈现

题目如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC，BD平分∠ABC，点E在BC上，LEDB=45°，BE=5CE，CD=3，求AB的长.

本题的阅读量小，图形简洁，条件清晰，但对学生的思维能力要求较高.看到题目后，绝大多数同学都是没有头绪，铩羽而归.笔者细研此题，发现此题切入点多，方法多样，给学生留有较大的思维空间，使得学生的解答可以呈现出众多的创新方法，对学生的解题有比较好的启发与帮助.

2解法探源

一个数学问题的解决，特别是较难问题的解答，关键是如何进行数学问题的转换，将一个陌生的问题转换为已解决过的数学问题，化生为熟，化非常规为标准.对于45°角问题，我们容易与八上《全等》的一道作业题联系起来.

引例如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分别为D、E.分别探究DE、AD、BE的关系.

“引例”的解答非常简单，这里不再展开.对于图2两个图形的结构，同学们要相当熟悉.因为-个问题的解决，往往需要逆向构图，即题目的图形只显现--部分，需要解题者作出辅助线，出现如图2中的基本图形并综合运用.

结合上面的问题，遇45°角的解题想法是直接以45°角为-一个基本角，构造等腰直角三角形，然后构造如“引例”中的全等三角形来解决（如本文的解法1、3、4）;遇45°角的第二种想法是：等腰直角三角形的三边之比是1：1：/2，并且构图后会产生直角三角形，与勾股定理结合，组成方程来解决线段问题（如本文的解法2）;遇45°角的第三种想法是：构造-一个45°，这样会产生两个共角（或共边）的三角形，利用相似三角形来解决（如本文的解法5）.

3多向解答

3.1以BD为斜边和45°角构成等腰直角三角形

解法1如图3，以点B为顶点，BD为边作∠DBF=45°，交DE的延长线于点F，易得BF⊥DF.过点F作FN⊥BC于点N，过点F作FM⊥AC，交AC的延长线于点M，过点D作DG⊥AB于点G.

因为∠FDB=∠FBD=45°，所以DF=BF.

因为∠DCE=LEFB=90°，对顶角∠CED=∠FEB，由等角的余角相等得∠CDE=∠EBF.

在△DMF和△BNF中，

{∠M=∠BNF=90°，

{∠MDF=∠NBF，

{DF=BF.

所以△DMF≌△BNF（AAS）.

所以FM=FN.

又四边形MCNF的三个内角为90°，

所以四边形MCNF是正方形.

设正方形的边长为a，CE=x，则BE=5x，BC=6x，EN=a-x，BN=6x-a.

因为DM=BN，所以3+a=6x-a.

所以a=6x-3

因为CD//FN，所以CDCEFN～EN

所以

解得x=1或x=1.5.

因为①

又BD平分∠ABC，DG⊥AB，DC⊥BC，由角平分线上的点到角两边的距离相等，所以DG=DC=3.

结合①式得CDBC②

设AD=y，

（1）当x=1时，BC=6，由②得yAB

所以AB=2y.

在RtOABC中，62+（y+3）2=（2y）2.

解得y1=5，y2=-3（舍去）.此时AC=8>6，即AC>BC，符合题意.

所以AB=2y=10.

（2）當x=1.5时，BC=9，由②得39yAB

所以AB=3y.

在Rt△ABC中，92+（y+3）2=（3y）2.

解得y1=-3（舍去），y2=2=3.75.

而AC=AD+DC=3+3.75=6.75<9，即AC<：BC，与题目条件AC>BC不合题意，舍去.

综上AB=10.

评注本解法以BD为斜边，∠EDB=45°构造等腰直角三角形.从图形中找出全等三角形和相似三角形，利用比例线段建立方程求出线段CE的长，再利用角平分线的条件，构造点到角两边距离，借助面积法，得出AB与AD的关系，再根据勾股定理建立方程得出线段AB的长.

2.2以DE为斜边和45°角构造等腰直角三角形.

解法2如图4，过点E作EF⊥DB于点F.

由∠EDB=45°，4EFD=90°，易得△DEF是等腰直角三角形，则EF=2，DE.

设CE=x，则BE=5x，BC=6x.

在Rt△CDE中，DE=CD2+CE=√32+x2=/9+x.

则EF=点DE=兵x9+2=√2（9+2）

（1）当x=1时，即CE=1时，过点D作DG⊥AB于点G.因为BD平分∠ABC，DC⊥BC，DG⊥AB，由角平分线性质可知，DG=DC=3，易得△BCD≌△BGD，则BG=BC=6.

设AG=a，AD=b，由∠A公共，∠C=∠AGD=90°，易证OADGnOABC.

所以C=AG，即6b+3

化简得b=2a-3.①

在Rt△ADG中，由勾股定理可知，AG2+DG2=AD*，即a2+32=b.②

把①式代入②式，得a2+9=（2a-3）*.

解得a=4，则b=5，AC=8，BC=6，符合题意.所以AB=AG+GB=4+6=10.

（2）当x=1.5时，由上面（1）的全等和相似得DG=3，BC=9，进一步BCAC9b+3

化简得b=3a-3.

在Rt△ADG中，由勾股定理，得AG+DG2=AD2.即a2+32=b2.

进一步得a2+9=（3a-3）2.

解得a=2-，b=3.75，AC=6.75.

此时AB=6+a=6+2二=8一.又BC=9，即AB

综上AB=10.

评注本解法以DE为斜边和∠EDB=45°构造等腰直角三角形，利用角平分线上的点到角两边的距，离和面积法求出CE、CB的长，这里用勾股定理组成一个无理方程，需学生分析运算条件，探究运算方向，选择运算方法，设计合理运算程序，使运算符合算理，合理简洁，再利用角平分线、三角形相似求出AD的长，最后通过勾股定理求出AB的长.

2.3以DE为直角边和45°角构造等腰直角三角形

解法3如图5，过点E作EF⊥DE于点E，交BD于点F，过点F作FH⊥BC，垂足为点H.

因为∠BDE=45°，EF⊥DE，

所以△DEF是等腰直角三角形.

所以DE=DF.

因为∠DEC+∠FEH=90°，而∠EFH+∠FEH=90°，由“同角的余角相等”，得∠DEC=∠EFH.

在△DEC和△EFH中，

{∠C=∠EHF=90°，

{∠DEC=∠EFH，

{DE=EF.

所以ODEC≌△EFH（AAS）.

所以CE=FH，EH=CD=3.

设CE=x，由BE=5CE，知BE=5x，BC=6x.则BH=5x-3.

由CD//FH，构成“A”型图形，则BHHFBC-CD

所以=5x-3，进一步化简得，2x2-5x+3=0.

解得x=1，xz=1.5.

以下解答，同解法2（略）.

评注本解法以DE为直角边和∠EDB=45°构造等腰直角三角形，通过“一线三垂直”图形证三角形全等，运用A字形相似，得出线段成比例，组成-一个方程，从而求出CE的长.这里的一线三垂直、全等三角形和A字形相似图形对解题的作用较大，可有效促进解题，缩短思维过程.

2.4以BD为直角边和45°角构造等腰直角三角形

解法4如图6，过点B作HB⊥DB于B，BH交DE的延长线于点H，过点H作HF⊥BC于点F.

由∠EDB=45°，∠HBD=90°，易得△BDH是等腰直角三角形.则DB=HB…

由“同角（∠DBC）的余角相等”，可知LCDB=∠CBH.在△BCD和△HFB中∠CDB=∠CBH，∠C=∠HFB=90°，DB=HB，所以△BCD≌△HFB.（AAS）.所以BC=FH.

设CE=x，则BE=5x，EF=5x-3，HF=BC=6x.

由AC⊥BC，HF⊥BC，知CD//HF.

由“8”字形知对应线段成比例，所以CDCEFH-EF

进一步，得6x5x-33=：

化简，得2x2-5x+3=0.

解得x1=1，x2=1.5.

以下解答，同解法2（略）.

评注本解法以BD为直角边和∠EDB=45°构造等腰直角三角形，通过“一-线三垂直”的变异图形证三角形全等，运用8字形相似得出线段成比例，得到方程，从而求出CE的长.本解法与解法3有异曲同工之妙，方法比较类似，都是借助--线三垂直全等和相似解题，可见构造基本圖形是解决平几问题的有效途径.

2.5以CD为直角边补45°角构造等腰直角三角形

解法5如图7，在CB上截取CF=CD，连DF.

因为∠C=90°，则△CDF是等腰直角三角形.

所以∠CDF=45°=∠EDB=∠CFD.

在△DEF和△BED中，

∠EFD=∠EDB，∠DEF=LDEB，

所以△DEFn△BED.

所以∠DBE=LEDF.

所以BG=BE=5x，∠BDG=∠BDE=45°.

所以LADG=180°-∠GDE-∠CDE=180°-90°-∠CDE=90°-∠CDE.

即∠ADG=90°-∠CDE.②

由全等知∠DEB=∠DGB，则其邻补角相等.

即∠AGD=∠DEC=90°-∠CDE.③

结合②③，得CADG=∠AGD.

所以AD=AG.

设AD=y=AG，

（1）当x=1时，CB=6.

在Rt△ABC中，AC=y+3，AB=5+y，

所以（y+3）=+62=（5+y）”…

解得y=5.

所以AB=10.

（2）当x=1.5时，CB=9.

在Rt△ABC中，AC=y+3，AB=7.5+y，

所以（y+3）2+92=（7.5+y）*.

解得y=3.75.

所以AC=3.75+3=6.75<9.

即ACBC矛盾.

故y=3.75舍去.综上AB=10.

评注本解法以直角∠C和直角边CD构造等腰直角三角形，这样挖掘蕴藏其中的共角共边的相似三角形，从而求出CE的长，再运用角平分线和截长补短得到一对全等三角形，推出角度相等的等腰OADG，再运用勾股定理得出AD的长，从而求出AB.

4解后反思

4.1“选择”是思维能力的重要体现

思维能力是数学的核心。一个题目的解决，不仅仅只看学生能否得出正确结果，更要看学生在解题过程中是如何构建新图形，以及对解题途径的选择.本题无疑是-个难题，在解答过程中主要分三个部分：第一部分必须利用45°角和CD的长求出CE的长;第二部分利用角平分线和勾股定理求出AD的长;第三部分是回到题目，看结论是否符合AC>BC的条件，得出最后答案.

其中第一部分求CE的长是解题的关键.在初中几何中，由题设条件45°角必须构造等腰直角三角形，如何构造，既可以把45°角和DE为-一个整体，DE当成斜边，也可以当成直角边;也可以把45°和DB为一个整体，DB当成斜边或直角边可以看出方法众多，途径各异，而如何在众多途径中找到最简捷的方法，完全取决于学生的思维能力.

解法1将45°角和BD为斜边构图，此解法是容易构图，需借助正方形、全等及相似来解决，所用知识点多，过程冗长;解法2将45°角和DE为斜边构图，借助等腰直角三角形的三边关系和勾股定理、面积法解答，涉及繁杂的无理方程计算，面对复杂的计算，学生有可能无功而返;解法3和解法4是构造--线三垂直之“k”字形并涉及到常见的“A”“8”字形相似，相对简洁，较好运用了题目图形的结构，顺势而为，值得借鉴;解法5直接以CD为边构造45°角，产生共角三角形相似，利用相似性质轻松求出CE，其实这个相似图形（共角三角形相似）源于课本，可见重视课本基本图形、提炼总结出数学模型，无疑能帮助快速解题除了构图，解答的关键都离不开相似，并且大量运用了同一未知数表示不同的线段、方程思想、勾股定理、解-一元二次方程、分類讨论等等，这些都是初中数学的重要内容与方法，需同学们不断总结与体会，如何在解决问题时，恰当运用.

4.2积累基本图形，体会基本思想的运用

数学家怀特指出;“数学就是对模式的研究.”数学的学习就是在建立模式、完善模式、打破模式、再建立新模式的不断循环中逐步构建数学的学科体系，形成数学的解决问题的能力，因此立足基本模型解题是解决几何问题的-一个基本方法，也是-一种基本思想，

通过对基本图形的感悟，在解决具体问题中，要.善于发现这些图形所拥有的“共同要素”，并进--步得到相应的位置关系和数量关系，直至解决问题.在平时解题教学中，要注重对一-些典型试题的几何图形的挖掘与分析，有意识强化对基本图形的积累与运用，注重常态教学结合具体知识有机渗透，让学生感悟数学基本思想和数学思维方式，要形成运用多种方式进行数学思考的习惯和意识，要有强烈的运用数学基本图形，构造基本图形进行思考的愿望.--些综合题，往往不是单--的模型，而是两个以上基本图形组合，因此在平时解题或复习中，要有意识地锻炼学生分析问题的能力，能够有条不紊地依据基本图形的认知进行理性分析.同时，我们要充分挖掘中考试题的功能与价值，搜寻题源，串联“形异质同”题，整合“形似质异”题，运用“联系”“迁移”“拓展”“创新”等策略进行试题分析与解答，逐步发现“经历”、优化“经历”、感悟“经历”、提升“经历”，从而积累“基本活动经验”，逐步提高数学解题经验和数学素养1.

参考文献：

[1]罗峻，段利芳.一组平行线架在双曲线上的中考题剖析[J].数理化学习（初中版），2018（08）：31—34.