确定空间圆柱面方程的方法探析

(成都师范学院 数学学院，四川 成都 611130)

三维Euclidean空间中都与给定空间曲线C相交的平行直线族所形成的几何体称为柱面，直线族中的每直线称为柱面的一条母线，所有母线具有相同的方向，它称为柱面的方向，定曲线C称为柱面的一条准线[1].若柱面的某一条准线正好是圆周(称为准线圆)，则称该柱面为圆柱面[1,2].圆柱面还可等价地描述为“三维Euclidean空间中到定直线的距离等于符号为正的定数的点的全体”，定直线称为圆柱面的轴线，可发现轴线的方向同样也是圆柱面的方向.圆柱面是一类特殊的直纹二次曲面，学习好圆柱面有助于提升学生的空间想象能力与科学计算能力，因此，它是学习与教授“解析几何”课程中的重点；另一方面，因圆柱面的几何结构复杂，是故它也是学习与教授“解析几何”课程中的难点.从多视角研究典型问题能加深对问题的理解，从而克服学习与教授问题所承载知识点过程中的困难[3].

1 问题提出

第一届中国大学生数学竞赛数学专业类预赛[4](2009年)第一题要求考生确定经过三条平行直线的圆柱面的方程，它突出考查应考者的空间想象能力、转化划归能力与科学计算能力，在圆柱面理论中具有极充分的代表性，其内容完整表述如下：

问题(*)设三维Euclidean空间中的圆柱面S同时经过三条两两相互平行的直线：

L1:x=y=z，L2:x-1=y=z+1，L3:x=y+1=z-1，

试确定圆柱面S的方程.

中国大学生数学竞赛由预赛与决赛构成，有数学专业组与非数学专业组之别，每年10月举办预赛，翌年3月举办决赛，首届预赛举办于2009年，实践经验表明，它在大学数学的教学与改革等诸多方向已经取得显著成效，例如，它已帮助提升大学生的学习数学的积极性，已帮助改善大学数学教师的课堂教学质量，已帮助促进高校的大学数学课程质量的提升改革[5,6].作为中国大学生数学竞赛数学专业组预赛中的一道赛题，问题(*)的能力立意突出，既能体现赛事活动的办赛宗旨，又能真实反映出学科学与教的重难点，有鉴于此，问题(*)具有极高的研究价值.经初步分析，笔者发现问题(*)具有多种求解方法，而且每种解法能从一种或多种视角揭示圆柱面的几何特性，从而能帮助加深对圆柱面的理解与认识.本文旨以问题(*)为例，阐述确定三维空间中经过三条平行直线的圆柱面的方程的8种视角下的若干方法.

2 确定圆柱面方程的方法探析

探析1 先确定出圆柱面S的轴线，再利用定义“到轴线的距离等于定数的点的全体”确定出圆柱面S的方程.确定轴线的思路是，由“直线L1，L2，L3上的点到轴线的距离为常数”得出：轴线上的所有点到直线L1，L2，L3的距离都相等.基于这些想法，可得出问题(*)的一种解答.

设直线L是圆柱面S的轴线.任取轴线L上的一点，记其坐标为(x,y,z)，因该点到直线L1，L2，L3的距离为常数，故有

或等价地，有

x-1=y+1=z，

此即轴L线的方程.

任取圆柱面S上的一点，记其坐标为(x,y,z)，S经过直线L1，而直线L1经过点O(0,0,0)，故O点在圆柱面S上，进而得知以(x,y,z)为坐标的点到轴线L的距离与点O到轴线L的距离相等，或等价地，有

经化简整理，得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即为圆柱面S的方程.

探析2 先确定出圆柱面S的准线圆，再借助于性质“过圆柱面S上任何一点的母线与准线圆相交”确定出圆柱面S的方程.基于这些想法，给出问题(*)的一种解答.

经分析可知，圆柱面S与平面π：x+y+z=0的交线是圆周C，它是圆柱面S的准线圆.直线L1，L2，L3与平面π的交点分别是O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1).可验证，以x2+y2+z2-2x+2y=0为方程的二次曲面是经过点O，P，Q的一个球面.于是，准线圆C的方程为

任取圆柱面S上的一点，记其坐标为(x,y,z).设点以(x+t,y+t,z+t)为坐标的点在圆周C上，则

消除参数t，并经化简整理可得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即为圆柱面S的方程.

探析3 基于探究2的解答过程，可发现确定圆柱面S轴线方程的另一种方法：轴线是直线段OP与OQ的中垂面，其中O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1).基于这一想法，给出问题(*)的一种解答.

圆柱面S的轴线L的方程为

仿照探析1的解答步骤，可得出圆柱面S的方程

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

注2 因点O(0,0,0)，P(1,0,-1)，Q(0,-1,1)都是圆柱面S的准线圆上的点，故它们到圆柱面S的轴线上的任何一点的距离相等，利用此发现也可确定出圆柱面S的轴线的方程.

探析4 经计算发现，对任何(x0,y0,z0)，(x1,y1,z1)及(m,n,p)∈R3，有

直接利用后者可发现问题(*)的一种解答：

任取圆柱面S上的一点，记其坐标为(x,y,z)，因该点到轴线L的距离与点O到轴线L的距离相等，故

经化简整理，得

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

此即为圆柱面S的方程.

探析5 基于平面系想法，给出问题(*)的一种解答.

设圆柱面S的方程为(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2+λ1(x-y)+λ2(y-z)=0，圆柱面S经过直线L2与L3，故以(1,0,-1)与(0,-1,1)为坐标的点都在圆柱面S上，进而有

或等价地，有

由Cramer法则，

于是，圆柱面S的方程为

(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2-6(x-y)=0，

或等价地，为

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

探析6 基于平面系想法，还能给出问题(*)的另一种解答.

设圆柱面S的方程为

因圆柱面S经过直线L1，而直线L1经过点O(0,0,0)，故点O在圆柱面S上，进而有

解得，λ=-3.于是，圆柱面S的方程为

或等价地，为

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0.

注3 探析5的原理是，先确定出经过直线L1的圆柱面S族的方程，再利用圆柱面S经过直线L2与L3建立方程并借此解出双参数λ1与λ2的值.探析6的想法与探析5类似，先确定出经过直线L2与L3的圆柱面族的方程，再利用圆柱面S经过直线L1建立方程并借此解出单参数λ的值.

探析7 先借助于正交变换，将圆柱面“扶持归正”，此时的圆柱面S′与原来的圆柱面S的形状一模一样，确定出圆柱面S′的方程，最后通过正交变换的逆变换(还是正交变换)，得出圆柱面S的方程.能达到上述功能的坐标变换有无穷多，通过取特殊值能获得其中的一个.“扶持归正”圆柱面最大的优点是圆柱面S′的方程在正好也是二维Euclidean空间中的圆周的方程，因此，通过确定圆周方程来达成确定圆柱面S′的方程的目的.基于这些想法，给出问题(*)的一种解答.

借助于正交变换

圆柱面S′的方程为

或等价地，有

x2+y2+z2-xy-yz-zx-3x+3y=0，

此即圆柱面S的方程.

探析8 先设出圆柱面S含有待定参数的方程，再利用题设条件建立方程并进而解出待定参数的值.基于这些想法，给出问题(*)的一种解答.

设圆柱面S的方程为

x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.

因圆柱面S过直线L1(参数方程为x=t，y=t，z=t)，故对∀t∈R，都有

t2+t2+t2+2a12t·t+2a23t·t+2a13t·t+2a14t+2a24t+2a34t+a44=0,

化简整理，得

(3+2a12+2a23+2a13)t2+2(a14+2a24+2a34)t+a44=0.

(1)

类似地，因圆柱面S过直线L2(参数方程为x=t+1，y=t，z=t-1)与L3(参数方程为x=t，y=t-1，z=t+1)，故对∀t∈R，有

(2)

由方程(1)与方程组(2)得

基于Gauss消元法，对上述方程组开展初等变换，得

于是圆柱面S的方程为

x2+y2+z2-xy-yz-xz-3x+3y=0.

注4 仿照探析8中发现的思路可证明下述一般性的结论：设某圆柱面S的方向向量为(m,n,p)，且其经过三点，已知这三点的坐标分别为(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(x3,y3,z3)，则圆柱面S的方程为

证设圆柱面S的方程为

x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44=0.

根据题设条件，以

(x1+mt,y1+nt,z1+pt)，(x2+mt,y2+nt,z2+pt)，(x3+mt,y3+nt,z3+pt)

为参数方程的直线都包含于圆柱面S.仿照探析8的解答过程，可证明这等价于：对∀t∈R，有

这事实上还等价于：参数a12,a23,a13,a14,a24,a34,a44满足下述线性方程组

借助于Cramer法则可直接解出参数

a12，a23，a13，a14，a24，a34，a44

的值.

借助于这些，并利用行列式的计算性质，可证得

(x2+y2+z2+2a12xy+2a23yz+2a13xz+2a14x+2a24y+2a34z+a44)=0.

注5 借助于注4中发现的公式，

2 结束语

本文以问题(*),即第一届中国大学生数学竞赛数学专业类预赛[4](2009年)第一题为例，从8种视角探析并给出了确定三维Euclidean空间中经过三条平行直线的唯一圆柱面的方程的若干方法.圆柱面是大学“解析几何”课程中的学与教方向的重难点，本文的研究在该方向有重要启示.