基于改进龙格-库塔法反舰导弹贮存寿命研究

李 强，谢春思，盖 强，吴 帅

(海军大连舰艇学院，辽宁 大连 116018)

0 引 言

可靠性是产品在使用时间内不发生故障的性质[1]。对数正态分布在可靠性工程中是一种重要的寿命分布，常用于描述产品的耐磨寿命与疲劳寿命[2]，广泛应用于半导体器件的寿命实验、加速寿命实验、电子设备的平均维修时间和电子元器件的可靠性增长过程[3-4]。

长期不工作或不使用的状态通常称为非工作状态(包括库房贮存、运输、战备值班等)，也称为贮存状态。反舰导弹具有“长期贮存、一次使用”[5]的特点，导弹从发射到击中目标，工作时间较短，绝大部分时间都处于贮存状态，对于具有高可靠度的反舰导弹，贮存寿命直接影响其可靠性。因此，研究反舰导弹的贮存寿命，提高反舰导弹的可靠性具有现实意义。

在可靠性工程中，失效率作为可靠性特征量具有重要的意义。通常情况下，产品失效率是时间的函数，失效率函数曲线一般呈浴盆状，分为3个阶段：早期失效期、偶然失效期和耗损失效期，例如指数分布的失效率函数为常数，威布尔分布则能全面地描述浴盆曲线的各个阶段，正态分布的失效率函数随时间增长呈递增趋势。因此问题随之而来，对于任意分布的失效率函数是否满足浴盆曲线值得研究，而对数正态分布函数正是一个例外，随着产品使用时间的增长，它的失效率并不符合浴盆曲线，有文献称之为“倒浴盆”形[6]，文献[6]从理论上证明了对数正态分布失效率函数的单调性。本文通过龙格-库塔法，运用Matlab进行数值仿真得到其失效率函数曲线，分析曲线变化趋势，得到失效率的渐近值。

1 对数正态分布失效率函数

设随机变量t的自然对数lnt服从均值为μ和标准差为σ的正态分布，则此对数正态分布失效概率密度函数f(t)，累积失效概率函数F(t)，可靠度函数R(t)，这些特征量可表示为[7]：

(1)

(2)

(3)

由失效概率密度函数f(t)、可靠度函数R(t)与失效率函数λ(t)三者关系可知故障率为：

(4)

2 反舰导弹可靠度的龙格-库塔法仿真

龙格-库塔法常用于微分方程的数值计算，是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。龙格-库塔法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，利用在积分区间内多预估几个点的斜率，进行加权平均，以此为平均斜率的近似值，抑制误差，从而构造出精度更高的数值积分[8]。

由于龙格-库塔法利用数值积分求解积分域0～t的微分方程，而可靠度R(t)的积分域为t～∞，为了使其满足龙格-库塔法使用条件，通过累积失效概率函数与可靠度函数的关系式：

R(t)=1-F(t)

(5)

首先构造微分方程：

(6)

式中：均值μ和标准差σ均为给定常数。

取步长h为0.001，由龙格-库塔法[9]：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

由式(3)、(4)、(5)，通过Matlab对可靠度函数R(t)与失效率函数λ(t)进行仿真，仿真结果如图1～图4所示。

图1 当μ=0.5时，对数正态分布可靠度函数图

图2 当μ=0.5时，正态分布可靠度函数图

由图1和图2可知，当均值μ=0.5时，对数正态分布与正态分布的可靠度函数均在短时间内降低，呈递减趋势，通过延长仿真时间，可靠度函数最终趋于零。对数正态分布函数的可靠度明显高于正态分布函数的可靠度，对于反舰导弹的寿命，自然环境和人为因素影响其均值大小，从而影响其可靠度，在可靠度高于0.5的范围内，标准差越小，寿命的可靠度随时间下降速率减缓。

图3 当μ=0.5时，对数正态分布失效率函数图

图4 当μ=0.5时，正态分布失效率函数图

由图3知，当均值μ=0.5时，对数正态分布的失效率函数在短时间内随时间迅速增大，达到最大值，然后呈递减趋势，通过延长仿真时间，失效率函数最终趋于零。由图4知，当均值μ=0.5时，正态分布的失效率函数表现为随时间增加呈递增趋势。通过比较对数正态分布与正态分布失效率函数图，得到了不同失效机理对应的失效率函数，对于反舰导弹的寿命，标准差对其失效率影响较大，尽管当贮存寿命的标准差较小时，它有较低的失效率，但在短时间内失效率又迅速增大，因此标准差并不能作为失效率唯一的评判依据。

反舰导弹的贮存可靠寿命可根据其贮存失效率求得[10-11]，如式(12)所示：

(12)

式中：L为反舰导弹贮存可靠寿命；λ为反舰导弹贮存失效率；R为临界可靠度的要求值。

通过式(12)，可以根据不同要求值的临界可靠度，计算反舰导弹的贮存可靠寿命。例如：对于贮存失效率λ=0.134 976 3×10-6/h，满足可靠度R=99%，反舰导弹贮存寿命为：

3 结 论