概率论教学中的四大公式及其应用

摘 要：文章对概率论教学中的四大公式，即加法公式、乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式给出了系统的阐述，对每个公式进行了详细的证明。另外探讨了如何利用这些重要的公式求解概率问题，尤其研究了如何利用全概率公式和贝叶斯公式相结合来解决较复杂问题的情况。

关键词：概率论;古典概率;全概率公式;贝叶斯公式

中图分类号：0211

文章编号：2095-624X（2019）06-0024-03

概率论是一门古老而年轻的数学分支学科。说它古老，是因为早在公元前1400年，古埃及人为了忘记饥饿，经常聚集在一起玩一种类似于今天掷骰子的游戏。到17世纪，将掷骰子作为赌博的方式在欧洲许多国家的贵族之间盛行，这是概率论产生的原动力。1654年费马与帕斯卡通信中关于分赌注问题的讨论被公认为概率论诞生的标志，从那以后进入相对快速发展的时期。说它年轻，是因为直到20世纪30年代，概率的公理化体系建立之后，概率论才算是一门严谨的数学学科。

在研究随机事件及事件发生的概率时，在概率论教学中引入四大公式：解决若干事件和的加法公式、计算若干事件乘积的乘法公式、解决由因索果问题的全概率公式和解决有果索因问题的贝叶斯公式。它们构成概率计算问题的四大公式。本文对于四大公式进行了细致的讲解，并且对于如何应用这四大公式进行概率计算进行了分析研究，对于大学概率论的教学有重要的参考价值。

一、 准备工作

随机试验是指其结果具有不确定性、偶然性或随机性的试验。对于随机试验，虽然在每次试验之前不能确定本次试验的结果，但是试验的所有可能结果在试验之前就明确可知。一个随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间，记为Ω。样本空间中的每个元素ω，也就是每个可能结果，都是该试验的样本点。由样本空间Ω可以派生出许多子集合，其中的某些子集合称为随机事件，简称事件，常用大写字母A，B，C，...表示。特别地，如果一个随机事件中只含一个试验结果（样本点），则称此事件为基本事件。令Φ为不可能事件，若事件A和事件B在任何一次试验中都不能同时发生，则称A与B互不相容，否则称A与B相容。设A，B是两个集合，A∩B的准确含义是ω∈A∩B ?ω∈A，且ω∈B，如果把这个蕴含关系式翻译成概率论的语言，那么事件A∩B表示A与B都同时发生，称事件A∩B为A与B的交。A与B的交也常称为A与B的乘积，并且可以写成AB。设A，B是两个集合，A∪B的准确含义是ω∈A∪B ?ω∈A或ω∈B，如果把这个蕴含关系式翻译成概率论的语言，那么事件A∪B表示A与B中至少有一个发生，称为事件A∪B为A与B的并。A与B的并也常称为A与B的和，并且可以写成A+B。如果一组事件A1，A1，...，An满足两个条件：

参考上图，如果把A1，A2，...，An视为“原因”事件，那么B就是“结果”事件，其中每一个“原因”Ai都可能导致综合“结果”B的发生。由于A1，A2，...，An构成一个完备事件组，所以A1，A2，...，An是导致综合“结果”B发生的所有的不同的“原因”。因此，全概率公式本质上是由所有的不同的“原因”导出综合“结果”的概率公式。

4.概率的贝叶斯公式

贝叶斯公式由英国统计学家贝叶斯提出。贝叶斯（Bayes，1702—1761），英国统计学者。他去世两年后由朋友发表了他首先提出的一种归纳推理理论，贝叶斯公式是其中的重要内容。直到20世纪20-30年代，归纳推理理论才由后来的统计学者发现其重要性，发展为一种系统的统计推断方法，称为贝叶斯方法。到20世纪50-60年代，贝叶斯学派已发展成为数理统计学中一个非常有影响的学派。

對于一个较复杂的事件，只要知道了各种原因发生的概率及各种原因导致该事件的条件概率，该事件的无条件概率可通过全概率公式求得。贝叶斯公式用来解决上述问题的“逆问题”。

定理2.8（贝叶斯公式）若事件组A1，A2，...，An构成一个完备事件组，且P（Ai）>0，i=1，2，...，n，则对于任何概率不为零的事件B，有

证明： 由条件概率的定义、乘法公式及全概率公式，

三、利用四大公式求解概率问题

例1 在某城市中共发行三种报纸： 甲、乙、丙。在这个城市的居民中，订甲报的有45%，订乙报的有35%，订丙报的有30%，同时订甲、乙两报的有10%，同时订甲、丙两报的有8%，同时订乙、丙两报的有5%，同时订三种报纸的有3%，求下列事件的概率：（1）至少订一种报纸;（2）不订任何报纸;（3）只订一种报纸;（4）正好订两种报纸。

总之，利用加法公式解实际生活中的概率问题，首先要明确事件、已知事件的概率和所求事件，然后根据两个事件的加法公式、多个事件的加法公式进行求解。利用乘法公式解概率问题要注意和条件概率公式相结合，并结合实际情况确定条件概率。另外，要注意结合全概率公式和贝叶斯公式来解决一些较复杂的问题。

参考文献：

[1]袁德美，安军，陶宝.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2011.

基金项目：重庆市基础与前沿研究计划项目（cstc2015jcyjA00009）;重庆市教委科学技术研究项目（KJ1500628）;国家自然科学基金青年科学基金项目（11501064）。

作者简介：蔺友江（1975—），男，河北临西人，副教授，博士，主要从事凸几何分析研究。