生长形态：把握数学学科知识的新视角

【摘   要】对数学知识的把握可以分为两种不同层次的形态，一种是结论形态，另一种是生长形态。数学教师可以通过追问三个问题、达成三个教学思考，来实现从生长形态的新视角，把握数学知识、解读数学教材，重新赋予数学、数学教学应有的魅力。

【关键词】生长形态;数学规定;教学新视角

通过数学学习学生能够获得什么？一个重要因素取决于数学教师对于数学知识的把握程度。笔者把对数学知识的把握分为两种不同层次的形态，一种是“这是数学规定，知识就是这样的”，可以称之为数学知识抽象后的结论形态;另一种是“为什么会这样规定，这个知识怎样成为这样的呢”，可以称之为数学知识形成中的生长形态。

荷兰数学教育家弗赖登塔尔说：没有一种数学的思想，以它被发现时的那个样子发表出来。一个问题被解决后，相应地发展为一种形式化技巧，结果把求解过程丢在一边，使得火热的思考变成冰冷的美丽。正因为数学知識具有这样一种抽象性、静态化的特征，在研究不同版本的数学教材后发现，数学教材多以精练、简洁的数学语言进行表述，往往省去了数学知识的背景描述和探索猜想的思维过程，省去了数学知识所隐含的数学思想方法的揭示。

这样带来的一个问题是，部分教师把数学教材中的知识结论简单地搬运给学生，并反复地加以训练，以期巩固。“只讲推理，不讲道理”。数学教师对于数学知识的把握停留于结论形态，而忽视了生长形态的数学知识所带给学生思维的启蒙和滋润的价值。张奠宙教授说，数学教师的任务在于返璞归真，把数学的形式化逻辑链条恢复为当初数学家发明创新时的火热思考。只有经过思考，才能最后理解这份冰冷的美丽。因此，生长形态，应当成为数学教材解读、把握数学学科知识的新视角。

如何从生长形态的视角把握数学知识，解读数学教材呢？笔者通过追问三个问题、达成三个教学思考来尝试教学实践。

追问之一：为什么数学规定成这样

【思考】数学知识是创造出来的，不是天生就有的

数学知识中有许多规定，比如数学符号“+、-、×、÷”、数学运算法则先乘除后加减、数学单位换算进率、数学各类公式等。但教师往往会觉得，这就是先天既有的规定，并没有成为教学资源，从而很少去考虑是谁这样规定的，为什么规定成这样。

比如在教学“认识多位数”时，学生和教师都很少感觉到为什么我国的计数习惯是“四位一级”，而很多讲英语的国家是“三位一级”？它们之间有什么区别？有的教师心目中会自然归因为这是不同民族的习惯。

但究其根本原因在于文化背景的不同。西方英语国家中没有“万”这个名称，他们的计数单位分别是one（个）、ten（十）、hundred（百）、thousand（千）、ten  thousand（十千）、hundred  thousand（百千）、million（百万）、ten  million（十百万）、hundred  million（百百万）……在这样的文化背景下，“三位一级”就比较方便，每级分别表示多少个一、多少个千、多少个百万……而在中国，因为计数单位包括个、十、百、千、万、十万、百万、千万……在这样的文化背景下，自然选择四位一级，每级分别表示多少个一、多少个万等。

这样的例子有很多。每一个数学规定都值得我们去追问：为什么数学规定成这样？在这些追问中，学生会发现，数学知识其实也不是天生就有的，探查其源头，发现它们并不神秘和复杂，相反，却能从中感受到一种非常亲切和豁然开朗的感觉：它是数学家们对生活常识的一种合理迁移和概括。让学生拥有这样一种学习经历，那么数学在他们眼里，一定不会枯燥和深奥，相反，数学是一种鲜活的事物、创造的启迪。教师引导学生弄清知识产生的渊源，学生就能更深刻地理解数学知识。

追问之二：数学规定除了这样，还曾经是什么样子的

【思考】数学知识经历了优化发展，不是天生这样的

当前的数学知识是人类文化发展历史积淀下来的精神财富，经历了漫长的发展、演化的过程，经过时间长河的筛选，已经相当的完备和精美。但在学生的世界里，他们往往无法感受到数学发展过程的艰辛历程，认为数学知识就是这样的，而对数学的精妙感受不深刻。

比如十进制计数法。法国数学家拉普拉斯有一段非常精彩的阐述：用十个符号来表示一切的数，每个符号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种很巧妙的方法来自印度。这是一个非常深远而又重要的思想，它在今天看来是如此简单，以至我们忽视了它真正的伟绩。但正是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使得我们的算式在一切有用的发明中排列首位。而当我们想到它竟然能够逃过古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想关注时，我们更加感到这成就的伟大了。

在教学四年级“大数的认识”时，我们可以引导学生思考：十进制计数法从古至今就是这样的吗？古人又是怎么计数的呢？我们回顾远古时候人们使用的石子计数法（如圈养的禽畜放出去一只放一粒石子，回来再用同样的方法丢掉以检查。随着数量增加，又规定数位堆，每一堆相当于10只）、结绳计数法（一个结表示1个，满10个打一个大结）、算筹计数法，再到后来用算盘计数、位值计算，等等。教师进一步比较、归纳：以上几种方法虽然形式各不相同，但它们有个共同点就是不同的位置表示不同的数值。

数学十进位制的产生，说明数位顺序表是人类经过相当漫长的一段时间探索，历经无数艰辛，在众多的计数方法的基础上渐渐形成的。在这个过程中，学生感受到任何一个数学知识都不是简单的，都有其复杂的发展过程。这样有利于学生真正深入地去看待数学知识。

作为数学教师，我们需要让学生保持一种理性的精神：为什么会有这样的规定，而不是其他的可能呢？数学规定曾经是什么样子的呢？让学生感受到数学知识不是先天预存的一堆“真理”，它是一步步发展形成的，因此，是可以被质疑、可以被变化的。

追問之三：除了数学知识结论，还能给学生什么

【思考】数学知识发展背后的规律及思想就是数学的魅力所在

数学教学中，很多数学学习过程往往都是在教师的“指令”下完成的。学生虽然“经历”了这一学习过程，但却对这一切究竟是怎样发生的毫无感知，也无从感知。当然，学生的数学学习，不同于数学家研究过程的简单复制，也不是数学发展史的简单浓缩，数学教师应当敏锐地感受到数学发展中的“内核”，引导学生真实参与数学知识的“创造”“发现”过程。这一学习过程已不只是学生获得数学知识的工具，其本身就是学习的内容。

比如教学“认识乘法”时，一种教法是：2+2+2+2还可以写成2×4，你发现2是什么，4是什么？你还能模仿写出一道这样的算式吗？这是简单的结论形态的数学知识。另一种教法这样设计：2+2+2+……+2（100个2相加），一口气读一读，你有什么想法？（好长、好累、数不清楚）你能创造一种简洁的写法吗？教师还可以借机介绍乘号的由来：1631年，英国的数学家奥托雷德发明了符号“×”，乘法是由加法而来的，表示几个相同的数字相加，所以他把“+”斜过来写成“×”形，既表示了加法与乘法的关系，又表示了相乘的方法。

在这个过程中，学生学到的不只是知识技能，而是数学发展过程中求简、创新的数学精神。

再比如许多数学教师讲过高斯的故事：高斯在少年时做一道算术题：1+2+……+98+99+100=（   ），高斯迅速算出了正确答案5050。有的教师只是从数学知识的角度介绍可以一组一组地相加，1+100=101，2+99=101……一共有50组，即101×50=5050，甚至还会归纳出“等差数列之和=（首项+尾项）×项数÷2”的结论。其实教师可以从生长形态的角度，关注高斯的数学思维活动过程，引导学生模拟场景：首先，高斯看到这个问题的第一感受是什么呢？高斯可能想：这么长的算式，不能直接一个个相加吧？那也太烦琐了。接着，高斯会怎么想呢？高斯会想，有没有简便的计算方法呢？这说明高斯思维的灵活性。然后，高斯会怎么做呢？他的做法是：观察这些数字是否有特征？很快，他就发现这些数字依次加1，很有规律。这也说明高斯思维的直觉性和概括性。最后，高斯顺利地解决了问题。这样，学生在听故事的过程中，感受到高斯思维变化的过程。这是学生最为宝贵的数学文化财富。

通过经历这样的学习过程，学生获得的是知识背后的数学思想方法，是不断生长的活动经验，是支持学生发展的心理结构与认知结构，使得数学教学从知识层面跃升到精神层面、认知方法层面，能够在新情境中自我适应、创生和发展。

总之，数学教学中“既有作为科学的数学，又有作为教育的数学”，具有数学知识深刻理解的数学，教师能够自觉地自我追问以及引导学生追问：为什么数学规定成这样？除了这样，还曾是怎样的？除了结论，还能提供什么？能够不断重温并强化“简单而有用”的基本思想与经验，使得学生在数学学习中能够获得智慧的启蒙、素养的滋润和生长的力量，重新赋予数学、数学教学应有的魅力！

参考文献：

[1]顾亚龙.以文“化”人——小学数学文化的育人视界[M].上海：上海教育出版社，2014.

[2]王兆正.向儿童展现数学本身[J].江苏教育（小学教学版），2011（1）.

（江苏省苏州工业园区唯亭实验小学 215000）