一个推广的对流方程5维截断模型的吸引集

易奇志 陈玲

摘   要：本文用定性理论的方法对一个推广的对流方程的5维截断模型进行了动力学分析，主要是探究其整体吸引集的存在性。从模型可见，由于该模型包含了著名的动力学方程——Lorenz方程，它有奇怪吸引子。在的条件下，我们运用两种不同的证明方法，并通过计算散度，得到了该系统在a=1时有测度为0的整体吸引集。由证明过程可见，第二种方法比较简洁方便。

关键词：对流方程  定性理论  吸引集

中图分类号：O41                                    文献标识码：A                        文章编号：1674-098X（2019）02（c）-0247-02

对流扩散方程是一类基本的运动方程，在众多领域中有着广泛的运用，比如应用于环境科学、流体力学、能源开发等领域。关于对流扩散方程的理论研究和数值计算也吸引了众多学者的关注[1-3]。在文献[3]中，周焕文、胡开坚通过一个截断公式并做适当的变换，得到一个推广的对流方程的5维模型，如下：

（1）

取定其参数和初始条件进行值实验，得到相图在x1-x5平面上的投影是一个Lorenz奇怪吸引子，直观地看到了该模型的一些复杂性态，但未见对此模型的理论分析，考虑到该模型参数的实际意义：σ为Prandtl常数，σ>0，s为无切变因素，b是常参数，b>0，r是Rayleigh数，r>0，a是常参数，a>0。本文将在此条件下用定性理论的方法对该模型进行动力学分析，用两种方法可以得到：当a=1时，系统有测度为0的整体吸引集。

1  a=1时的吸引集

该模型必有奇怪吸引子存在，因为令，该模型成为Lorenz方程，有奇怪吸引子.那么，我们要问：在其他情况下，是否有吸引子[4-5]。

2  结语

对于比较复杂的动力系统，要揭示其动力学性质，一般可以从理论分析和数值计算两个方面来进行。通過定性理论的分析方法，我们对于系统（1）的全局性态有了更进一步的了解，证得在一定条件下，系统有Lebesgue测度为0的整体吸引集。但是该系统还有很多复杂的性态尚未揭示出来，为了更深入的了解它，可以进一步进行平衡点分析，分叉分析，中心流形分析，这些工作将有助于我们更好地把握该系统的全局特征和局部特征。

参考文献

[1] 张燕美，兰斌，盛志强，等.非定常对流扩散方程保正格式解的存在性[J].计算数学，2018.（网络首发）

[2] 朱晓刚，聂玉峰.变系数分数阶对流扩散方程的一种算子矩阵方法[J].应用数学和力学，2018（1）：104-112.

[3] 周焕文，胡开坚.推广的对流方程的5维截断模型[Z].

[4] 盛昭瀚，马海军.非线性动力系统分析引论[M].北京：科学出版社，2001：86-92.

[5] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos[M]. New York： Springer-Verlag World Publishing Corp，1990.