陀螺力矩教学心得

刘海平　杜中华　李鹏　吴大林

摘 要：高速自转的陀螺其轴线不翻倒的物理原因是教学过程中的难点，同时也是理解章动和进动原理的理论基础，如果不能深刻理解陀螺力矩产生原因和特点，将严重影响后续陀螺稳定和追随稳定等课程的教学效果。本文结合作者多年教学实践，按照逐层递进的方法，针对如何讲好陀螺力矩进行探讨分析。

關键词：陀螺力矩 惯性力 教学心得

一、翻转力矩的产生及特点

为使问题简化，假设陀螺是理想的回转体，回转轴通过质心。由于众多客观原因，陀螺回转轴ζ与通过陀螺顶点的铅垂线OY并不重合，其所夹角度用α表示。以旋转顶点O为坐标原点，建立坐标系如图1。

由于夹角α的存在，陀螺质心所受重力将对顶点O产生力矩。根据右手定则，该力矩方向为OZ的反方向，用Mg表示。力矩Mg使得陀螺回转轴ζ沿图1所示摆动方向1，绕O点在平面XOY内摆动，α逐渐增大，从而使回转轴发生翻倒。因此，力矩Mg称为翻转力矩。该力矩具有如下特点：

1.翻转力矩Mg的方向始终垂直于由铅垂线OY和回转轴ζ所构成的平面XOY。

2.翻转力矩Mg使回转轴ζ在平面XOY内加速摆动，并最终使回转轴ζ在平面XOY内翻倒。

3.翻转力矩Mg与夹角α的大小有关，当陀螺高速旋转时，α变化范围极小，翻转力矩Mg可近似认为是常数。

二、陀螺力矩的产生及特点

当陀螺不自转时，在翻转力矩Mg作用下，α逐渐增大，回转轴§将在平面XOY内翻倒。若陀螺高速自转，情况将完全不同。可假设陀螺高速顺时针自转（右旋），此时陀螺上的每个质点都围绕回转轴ζ作圆周运动。为使分析具有普遍意义，任取陀螺垂直于回转轴ζ的一个切面进行分析，如图2所示。

由于陀螺高速自转，回转轴§在平面XOY内摆动过程中，切面上质点的速度必将发生变化。如图2所示，当仅考虑由于自转带来的速度变化时，可将切面上任一质点速度分解为两个分速度：平行于平面XOY且垂直于回转轴ζ的分速度V⊥ζ（B、D两点仅有该方向分速度）和垂直于平面XOY的分速度Vz（A、C两点仅有该方向分速度）。在翻转力矩Mg作用下，α逐渐增大，在回转轴ζ摆动过程中，切面上任一质点的分速度Vz大小和方向都不发生变化，而分速度V⊥§的大小不变，方向发生变化，产生了速度增量。由图2可知，在切面内半圆任一质点产生平行于回转轴ζ指向下方的速度增量，在外半圆相反，产生平行于回转轴ζ指向上方的速度增量。根据牛顿第二运动定律，若让质点产生速度增量，则需提供相应的外力，即在内半圆任一质点需提供平行于回转轴ζ指向下方的外力，其合力用F内表示，同理，在外半圆任一质点需提供平行于回转轴ζ指向上方的外力，其合力用F外表示，F内与F外大小相等，方向相反，构成一对力偶，方向与回转轴ζ在平面XOY内摆动的方向相反。因此，若使高速旋转的陀螺与不旋转陀螺一样，仍然保持在平面XOY内摆动，需提供与摆动方向相反的外力矩。然而，陀螺高速自转时并没有此外力矩，陀螺就“好像”受到了与此外力矩方向相反的力矩M1（如图1所示）作用，显然，M1是由于自转惯性产生的力矩，是一种惯性力矩，也称为陀螺力矩，在陀螺力矩M1作用下，回转轴ζ将向垂直于平面XOY的方向（Z轴正方向）摆动。

由于陀螺的高速自转，在陀螺回转轴ζ摆动过程中，陀螺上的任一质点产生了速度增量，这些速度增量所产生的惯性力合力形成了陀螺力矩M1。在陀螺力矩M1的作用下，回转轴在垂直于XOY平面方向（Z轴正方向）亦产生摆动，在Z方向上又产生新的陀螺力矩M2，陀螺力矩M2与翻转力矩Mg反向，使回转轴ζ在XOY平面内的摆动速度减小。在M2与Mg共同作用下，回转轴在XOY平面内的摆动角不再无限增大，而是周期性往复摆动，最终使得陀螺回转轴ζ不发生翻倒现象。

三、惯性力和惯性力矩对运动的影响对比

陀螺力矩本质是惯性力矩，其在产生原理和特点上与惯性力有相似之处。惯性力和惯性力矩与参考坐标系速度变化有关，为便于对照理解，下表1对两种典型情况惯性力和惯性力矩的产生进行比较。

当参考坐标系加速直线运动时（速度大小发生改变，线加速度），在参考坐标系中物体会产生惯性力，使参考坐标系中的物体加速直线运动；而当参考坐标系匀速转动时（速度方向发生变化，角加速度），在参考坐标系中的物体产生了惯性力矩，使参考坐标系中的物体产生加速转动。

结语

陀螺自转产生惯性力矩使得回转轴在两个方向上摆动，在陀螺力矩M1、M2和翻转力矩Mg的共同作用下，回转轴在高速自转的同时，还要作章动和进动。掌握了陀螺力矩产生的原因及其特点，将为章动和运动的后续讲解打好基础。