两个历史几何名题在高考中的运用

【摘 要】以几何名题为背景的高考题近年来时常出现，对于这类问题的归纳和分析显得非常重要。本文从近几年高考题中搜寻米勒问题和阿波罗尼斯圆两类几何名题由此衍生出的解析几何高考试题，归纳结论两个，加强数学文化，丰富数学素养，培养数学兴趣。

【关键词】米勒问题；阿波罗尼斯圆；几何名题；数学文化

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1671-8437（2019）16-0060-02

1 历史米勒问题

例1（1986年高考理科数学第19题）如图1，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B，试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使∠ACB取得最大值。

分析：通过设A的坐标为（0，）、点B的坐标为（0，），C的坐标为（，0），再根据两角和与差的正切函数和基本不等式可求出∠ACB取得最大值的条件，结果是当时，∠ACB取得最大值。即点C满足OC2=OA·OB=。通过证明有结论（1）：∠ACB取最大值OC2=OA·OB=。

本题为求最大视角问题，它是数学史上100个著名的极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，最大视角问题又称为“米勒问题”。2005年天津高考理科数学第20题，2005年浙江高考理科数学第17题以及2010年江苏高考理科数学第17题在高考中均出现了“米勒问题”为背景的高考题。对于例题1结果OC2=OA·OB=，有何特殊之处，先看阿波罗尼斯圆的

定义。

2 阿波罗尼斯圆

阿波罗尼斯圆：一动点P与两定点A、B的距离之比等于定比λ（），则点P的轨迹是圆，具体指以定比λ内分和外分定线段的两个分点的连线为直径的圆。 这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。如图2点P是平面上一动点，A、B是两定点，PA∶PB=AM∶MB=AN∶NB，M是AB的内分点（M在线段AB上），N是AB的外分点（N在AB的延长线上），则点P的轨迹是以MN为直径的圆。通过证明得出：设阿氏圆圆心为O点，OB=，

OA=，，设=λ，λ>1（若比值λ<1，圆心靠近点A，用做比值λ），即为圆心到近的那个定点的距离，为圆心到远的那个定点的距离，则P点的轨迹是圆，且半径，λ2=。简单地说就是阿氏圆

半径，比值λ满足λ2=，记为结论（2）。对于例题1结果OC2=OA·OB=有何特殊之处，答案就是点C在以O为圆心，为半径的阿波罗尼斯圆上。

确定一个阿波罗尼斯圆条件：圆心和半径，或者AB定长和比值λ。阿波罗尼斯圆第一类：已知AB定长和比值λ。这类题在99年全国高考数学理科，2003年春季北京卷，2005年江苏卷数学，2006年四川卷理科数学，2008年卷江苏卷数学中均有出现。下面举例一个。

例2（2006年高考四川卷理科数学第6题）已知两定点，如果动点P满足，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于

（A）π （B）4π （C）8π （D）9π

分析：点P满足阿波罗尼斯圆的定义，点P的轨迹是阿氏圆。AB定长为3，比值λ=2，由结论（2）半径，

λ2==，解得=1，=4，=2，所以所求面积为4π。与用一般的建系求解结果一致。

阿波罗尼斯圆第二类：已知圆心和半径。这类题目在2015年湖北理科卷和2015年四川理科卷均有出现。举例一个如下：

例3 如图3，圆C与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且。

（Ⅰ）圆C的标准方程为__；

（Ⅱ）过点A任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：

①；②；③。

其中正確结论的序号是__。（写出所有正确结论的序号）。

答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③

分析：（1）由几何关系可得，，进而圆心坐标（1，），所以圆C的标准方程为；

（2）因为OA=-1，OB=+1，R2=OA·OB，所以圆是以A，B为定点的阿氏圆，且λ==+1。由阿氏圆的定义，=+1，①成立，带入②③，②③也成立。

几何名题犹如一颗颗闪烁的明珠，璀璨夺目，通过高考命题者的构造和编拟，让经典名题熠熠生辉。了解数学文化，重温米勒问题和阿波罗尼斯圆问题，培养数学兴趣，运用结论快速解决相关高考试题。

【作者简介】

简小华（1985～），男，江西新余人，汉族，学历：本科，职称：中小学二级教师。