让“思想”推动“思维”

钱洋

在“平行四边形”这一章节的学习中，涉及的数学思想方法很多，其中“转化思想”“分类讨论思想” “方程思想”“一般到特殊思想”等用得较多。为了让同学们能轻松解决平行四边形中的问题，下面老师将通过对同学们易错的三个典型例题的剖析，让同学们体会数学思想方法推动数学思维的功效。

一、“转化思想” 在平行四边形中的运用

例1 如图1，在△ABC中，AB=8，AC=6。 AD是BC上的中线，则AD的取值范围是（        ）。

A.6

C.1

許多同学选A，原因是肤浅地认为AD是介于AC长和AB长之间的一条线段。在涉及有关线段的取值范围问题时，常常要联想到三角形的三边关系。由AD是中线，联想到“倍长中线法”，如图2，得到平行四边形，转化线段AB，将AB、AD、AC转化到同一个三角形中求解。延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE，∵AD是BC上的中线，∴BD=DC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴EC=AB=8，∴8-6

二、“分类讨论思想” 在平行四边形中的运用

例2 如图3，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是平行四边形，点A、B、C的坐标分别为A（0，4），B（-2，0），C（8，0），点E是BC的中点，点P为线段AD上的动点。若△BEP是以BE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为______________。

不少同学受已知图形的影响，只考虑BP=BE的情形，原因是对等腰三角形问题缺少分类讨论的意识。BE是等腰△BEP的腰，B、E两点都可以作为等腰△BEP的顶角顶点。若B为等腰△BEP的顶角顶点，则BP=BE;若E为等腰△BEP的顶角顶点，则EP=EB。分两种情况讨论作答。如图4，作EH⊥AD于H。由题意BE=5，OA=4，OE=3，当BP=BE=5时，P（1，4）;当EP=EB=5时，可得P2（0，4），P1（6，4），（HA=HP1=3）。综上，满足条件的点P坐标为（1，4）或（0，4）或（6，4）。

三、“方程思想” 在平行四边形中的运用

例3 如图5，?ABCD的周长是28，两组对边的距离分别为DE=3，DF=4，求这个平行四边形的面积。

有同学对本题的解法找不到思路，无从下手，这是因为缺少分析问题的能力，不能充分挖掘题目中的条件。要求平行四边形的面积，根据面积公式，两条边上的高都有了，只要求出平行四边形的任一条边即可。而条件中的周长28隐含了两条邻边的和为14，只要设AB=x，则BC=14-x，利用“面积法”就可以建立方程。

由题意易得AB+BC=14，设AB=x，则BC=14-x。由平行四边形的面积可得3AB=4BC。

∴3x=4（14-x），解得x=8。

∴S?ABCD=3×8=24。

【总结】数学的学习是以学习数学知识为载体，体会感受数学思想方法的过程，要将学习并运用数学方法解决问题贯穿数学学习的始终。同学们在平时的学习中要多体会、多思考，只有这样，才能提高自己的思维能力。

（作者单位：江苏省泰兴市西城教育集团西城校区）