平移传递　巧寻“存在”

佘小莉

探讨平行四边形的存在性问题是近年来数学中考的热点。本文介绍一种坐标平移策略，可以帮我们简洁明了地解决平行四边形的存在性问题。

策略呈现 如图1，点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请求出点D的坐标。

【解析】首先，四边形四个顶点排序未定，可以分别以△ABC三条边AB、AC、BC为对角线作为分类依据进行讨论（如图2）。

其次，若以BC作为对角线，把[?ABD1C]的一组对边AC、BD1看成线段AC平移至BD1处，点A→B，横、纵坐标分别增加x2-x1、y2-y1，根据坐标平移的性质，点C→D1，横、纵坐标也分别增加x2-x1、y2-y1，所以D1坐标为（x2+x3-x1，y2+y3-y1）。

最后，以AC、AB为对角线的两种情形，同理，求出D2、D3坐标分别为（x1+x3-x2，y1+y3-y2）、（x1+x2-x3，y1+y2-y3）。

策略应用 （2012·黑龙江绥化）如图3，四边形ABCD为矩形，C点在x轴上，A点在y轴上，D点坐标是（0，0），B点坐标是（3，4），矩形ABCD沿直线EF折叠，点A落在BC边上的G处，E、F分别在AD、AB上，且F点的坐标是（2，4）。（1）求G点坐标;（2）求直线EF解析式;（3）点N在x轴上，直线EF上是否存在点M，使以M、N、F、G为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标;若不存在，请说明理由。

【解析】（1）根据折叠等已知条件得，FG=AF=2，FB=1。在Rt△BFG中，BG=[3]。所以G点的坐标为（3，4-[3]）。

（2）如图4，过点E作EP⊥BC于点P，设OE=m，在Rt△GEP中，EG2=GP2+EP2，即（4-m）2=32+（4-[3]-m）2，解得m=4[-23]。根据E、F两点的坐标，解得直线EF的解析式为y=[3]x+4[-23]。

（3）设点N坐标为（a，0），分别以△NFG三条边NF、NG、FG为对角线分三种情形展开讨论。

情形一：以NF为对角线，应用坐标平移策略，点G→N，横、纵坐标分别增加a-3、[3]-4，点F→M，横、纵坐标也分别增加a-3、[3]-4，则点M坐标为（a-3+2，[3]-4+4），即为（a-1，[3]），代入直线EF解析式y=[3]x+4[-23]，解得a-1=[9-433]，点M的坐标为（[9-433]，[3]）。

情形二：以NG为对角线，同理，应用坐标平移策略，点M坐标为（a+1，[-3]），代入直线EF解析式，求出a+1的值，得点M的坐标为（[3-433]，[-3]）。

情形三：以FG为对角线，同理，应用坐标平移策略，点M坐标为（5-a，8[-3]），代入直线EF解析式，求出5-a的值，得点M的坐标为（[3+433]，8[-3]）。

综上所述，点M存在，坐标分别为（[9-433]，[3]）、（[3-433]，[-3]）和（[3+433]，8[-3]）。

總结 坐标平移策略可以避免画图的“烦恼”，回避了复杂图形的分析推理，而且考虑全面、不易遗漏。这种策略不仅适用于多个动点的探讨，也适用于菱形、矩形、正方形存在性的探讨。随着日后学习的深入，当平行四边形与其他问题相结合时，越发可以显示它的“威力”。

（作者单位：江苏省扬州市梅岭中学）