由斜边中线引发的思考

翟远航

几何总是能极大地引起我的兴趣。最近我又认识了一位新“朋友”———平行四边形。在學习平行四边形的过程中，我接触到这样一道题：

如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，求证：BD=[12]AC。

这道题当然难不住大家。如图2，延长BD到B′，使B′D=BD，不难证得四边形ABCB′是矩形，得BD=AD=CD，故BD=[12]AC。就在大家以为证明完就结束的时候，平时比较腼腆的孙同学提出了疑问：若BD=AD=CD，∠ABC是否一定是直角呢？同学们快速开动脑筋，几秒之后给出了解答：可设∠A=x，∠C=y，则由BD=AD，得∠ABD=∠A=x，由CD=BD得∠DBC=∠C=y，所以由三角形内角和得：2x+2y=180°，所以x+y=90°，故∠ABC=90°，所以∠ABC一定是直角。就在此时，曾困惑我多时的一道题突然又冒出脑海（据说是一道考研题）：

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，AC=6，BD=4，求△ABC的面积。

此时，你是否在笑话我？这题读完，答案不就是[12]×6×4=12吗？嘻嘻，如果你这样想，那么我恭喜你也成功“掉坑”了！老师经常说数学是一门很严谨的学科，多一个条件或少一个条件，问题也许就大不一样了。在解题时，你有没有发现，此题还有一个条件“∠ABC=90°”没用到？这不禁引起了我的思考，是出题者不小心多加了条件，还是另有意图呢？再回看条件，这个直角三角形斜边已知。貌似我们目前能做的也只能求出其中线的长了。那就先作中线再说。如图3，作AC边上中线BE，则BE=[12]AC=3，现在你发现端倪了吗？BD竟然大于BE，这怎么可能呢！要知道是“垂线段最短”哦！事实上，这张图是根本不存在的，又怎会有“12”这样的解呢？

所以我们在平时的学习中要多思考、多问，不要一味地模仿、被动接受，要敢于质疑，探个究竟，这样我们才会享受到数学的无穷魅力！

教师点评：小翟同学在平时的学习中总爱思考，对任何问题都喜欢追根究底，探个究竟，敢于质疑。“疑，思之始，学之端”“思维从疑问和惊奇开始”，他做到了。课上或课后，他绝不止步于解题，得到答案，而更多地是会去思考，这道题是怎么来的？本质是什么？弱化或加强条件又会怎样？我们从本文可以窥见一斑。这是学习中最珍贵的学习品质，值得同学们学习！

（指导教师：黄 萍）