在“变”中找“不变”

朱月红

平行四边形“生长”出了一系列特殊四边形，在“生长”的过程中，出现了一些较复杂的问题。同学们只要仔细观察、善于发现，在“变”的现象中抓住“不变”的本质，便可以迅速抓住解题的突破口。下面举几例，请同学们一起来体会其中的奥妙。

例1 如图1，在矩形ABCD中，已知AD=8，AB=6，P是AD上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE+PF的值。

【解析】连接OP，由矩形性质推出AC=BD，OA=OC，OB=OD，由勾股定理求出AC和BD的长，求出矩形ABCD的面积，进而得到△AOD的面积。根据三角形的面积公式即可求出PE+PF的值是[245]。

【点评】初看此题，点P的位置不确定，PE、PF的长度随之不确定，似乎找不到突破口。但同学们只要结合已知条件细心观察，就可以由“在‘点P位置变化的过程中矩形ABCD的面积不变”推导出“△AOD的面积不变”，这是解此题的关键。本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识点。

例2 如图2，在[?ABCD]中，作∠ABC、∠BCD的平分线BE、CF分别交AD于点E、F，若AB=8，EF=1，求[?ABCD]的周长。

【解析】先根据题意补全图形，再根据平行四边形、等腰三角形的性质求出AD的长即可求出周长。答案：50、46。

【点评】本题考查同学们的基本功——平行四边形具有易变性，体现了思维的灵活性。作图时要从两方面考虑：BE、CF的交点在平行四边形ABCD内还是外（也可以思考点E在点F的左还是右）。此题与例1不一样，貌似不变的图形背后却蕴含着变化（实质是分类讨论）。

有了上面两题的解题经验，下面这道题同学们做起来就轻松了。

例3 如图3，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，求△BEQ周长的最小值。

【解析】根据正方形的性质，点B与点D关于直线AC对称，DE的长即为BQ+QE的最小值，故答案為：6。

【点评】在运动背景下，点Q动→△QEB形状的改变→干扰同学们的视线→无法下笔。△QEB形状的变化中有没有不变的量呢？同学们可以由“最小值”联想到两点之间线段最短、垂线段最短等知识。“DE的长即为BQ+QE的最小值”是解这题的突破口。

在今后的解题中，同学们要善于从变化中寻找不变的量，这样既可以快速找到解题突破口，又能发展思维的灵活性、敏捷性。

（作者单位：江苏省泰州市高港实验学校）