三轴立式加工中心几何误差对空间定位精度的敏感度分析

陶小会

（重庆大学，重庆 400044）

0 引言

随着航空航天、船舶、汽车行业的飞速发展，对制造业水平的要求也越来越高。提高数控机床的精度是提高制造业发展水平的重要方法之一。空间定位精度是指刀具的实际位置相对于刀具的理想位置之间的偏差，机床的空间定位精度对工件的加工误差有重大影响[1]。影响数控机床精度的误差源主要包括几何误差、热误差及力误差，其中几何误差占重要地位[2]。数控机床的空间定位精度保证方法包括精度设计和误差补偿[3]。因此，分析立式加工中心几何误差对空间定位精度的敏感度，找到影响空间定位精度的关键误差源，对提升数控机床的精度具有重要的指导意义。

常用的误差敏感度分析方法主要有矩阵微分法、概率分析法和区间分析法。矩阵微分法是把空间定位精度模型对某一误差项的偏微分求导结果作为该误差项的敏感度评价指标，但该方法只适用于线性误差模型敏感度分析。CHEN等[4]基于刚体运动学和齐次坐标变换建立了空间误差模型，利用矩阵微分法分析处理37项误差项的敏感度，并成功应用于五轴超精密机床精度设计。Li等[5]定义了敏感度指数新指标，并对机床的位置误差和姿态误差都进行了敏感度分析。程强等[6]利用矩阵微分法建立四轴数控机床敏感度分析数学模型，识别出机床关键几何误差源。概率分析法是以基于概率分布的误差建模方法为基础，以某一误差项的方差与总体方差的比值作为该误差项的敏感度指标[7]。CHENG等[8]通过多次测量数据分析，假设机床的几何误差服从正态分布，识别出立式加工中心的关键几何误差。区间分析法是假定误差为给定边界的区间数，计算刀具的误差区间范围，以引起的刀具误差区间宽度值作为敏感度评价指标[7]。误差敏感度分析是机床精度设计的基础，对提高机床的空间定位精度具有重要作用。

因此，本研究中首先基于多体系统理论建立数控机床空间误差模型；然后，利用矩阵微分法分析各误差项的敏感度，找出关键几何误差项；最后，根据敏感度分析结果，对空间定位精度进行改进。

1 基于多体系统理论的空间误差建模

1.1 三轴立式加工中心结构

本研究中采用的三轴立式加工中心结构示意图如图1所示。它由床身、工作台（X轴）、Y轴、Z轴和主轴组成。图2为其拓扑结构，用于描述多体系统中体与体之间的连接方式，三轴立式加工中心的拓扑结构可以分为两个分支，第一个分支为工件分支，主要由机床床身、Y轴、X轴和工件组成；第二个分支为刀具分支，主要由机床床身、Z轴、主轴和刀具构成。

图1 三轴立式加工中心结构示意图

图2 三轴立式加工中心的拓扑结构

用低序体阵列描述多体系统拓扑结构简单方便，因此被广泛使用。计算低序体阵列的计算公式如下：

任选体Bj为系统中任意典型体，体Bj的n阶低序体的序号定义为：

式中，L为低序体算子，并称体Bj为体Bi的n阶高序体，且满足：

当体Bi为体Bj的相邻低序体时，有：

根据以上定义，可以计算出图2所示的多体系统的各阶低序体阵列如表1所示。表2为三轴立式加工中心的自由度，它表示机床各单元之间的约束情况，表中“0”表示不能自由运动，“1”表示能自由运动。

表1 三轴立式加工中心的低序体阵列

表2 三轴立式加工中心的自由度

1.2 三轴立式加工中心误差分析

三轴立式加工中心有三个平动轴，每个平动轴包含6个位置相关几何误差，三个平动轴之间还存在3个直线度误差，共21项几何误差，将这些误差项用gi（i=1，2…21）表示，如表3所示。

表3 三轴立式加工中心几何误差

1.3 三轴立式加工中心的空间误差模型

根据多体系统动力学理论[9，10]，相邻体之间的位置和姿态可以用齐次坐标变换矩阵来表示。两个相邻体之间的其次坐标变换矩阵由理想静止变换矩阵、实际静止变换矩阵（如表4所示）、理想运动变换矩阵和实际运动变换矩阵（如表5所示）组成，其中，i代表相邻体的低阶体代表相邻体的高阶体，则两相邻体之间的其次变换矩阵可以表示为：

在理想情况下，不存在误差，此时刀具成形点和工件成形点重合，即

理想情况下，刀具轨迹在工件坐标系下的坐标值为：

在实际情况下，有误差存在时，刀具成形点和工件成形点不重合，将会产生偏差，实际情况下，刀具轨迹在工件坐标系下的坐标值为：

空间误差模型可表示为：

将空间误差表示为标量形式为：

表4 相邻体的理想静止及实际静止变换矩阵

表5 相邻体的理想运动及实际运动变换矩阵

2 误差敏感度分析

2.1 建立误差敏感度数学模型

本研究中的几何误差敏感度用几何误差产生微小变动时对总的空间定位误差的影响表示。因此，21项几何误差的敏感度可以表示为：

为了便于分析，对各误差元素的误差敏感度系数进行归一化处理[6]，定义为：分别为几何误差元素 gi在 x、y、z 三个方向的敏感度系数。在各个方向上的误差敏感度系数之和为1。

2.2 关键几何误差元素识别

在上述的机床空间误差模型的基础上，利用矩阵微分法分析各项误差敏感度。三轴立式加工中心的尺寸为800×500×600，工作台上的中间位置点为常用的加工位置点，即 Pw=（400，250，0，1），对该点处的误差进行敏感度分析。

21项几何误差对x方向的定位误差敏感度如图3所示，对y方向的定位误差敏感度如图4所示，对z方向的定位误差敏感度如图5所示。从图3中可以看出，z轴运动时x方向的直线度误差δxz对x方向的定位精度影响最大，敏感度系数为 0.34；δxx、δxy、δzy对x方向的定位精度影响也很大，敏感度系数分别为0.15、0.25、0.22，其他的误差项对x方向的定位精度影响很小，其他误差的敏感度系数之和为0.04。

图3 x方向的几何误差敏感度

图4 y方向的几何误差敏感度

图5 z方向的几何误差敏感度

因此，在该点处对该三轴立式加工中心的空间定位精度影响较大的误差元素有

（1）提高x轴的螺杆制造精度；

（2）提高垂直平面和水平平面的直线度。

3 结论

（1）误差建模是机床敏感度分析的前提，基于多体系统理论，利用齐次坐标变换建立三轴立式加工中心空间误差模型；

（2）结合空间误差模型，利用矩阵微分法，建立几何误差敏感度计算数学模型，计算出21项几何误差的敏感度系数，识别出机床关键几何误差项；

（3）基于辨识出的关键几何误差项，分析几何误差来源，提出三轴立式加工中心精度设计方法。