混杂随机泛函微分方程修正截断EM算法的强收敛率

胡军浩，方明，高帅斌

(中南民族大学 数学与统计学学院，武汉430074)

1 相关知识

考虑混杂随机泛函微分方程

dX(t)=f(Xt,Λ(t))dt+g(Xt,Λ(t))dB(t),
0≤t≤T,

(1)

f:C([-τ,0];n)×S|→n,

g:C([-τ,0];n)×S|→n⊗m

是可测函数，B(t)=(B1(t),B2(t),…，Bm(t))T是定义在完备概率空间(Ω,F,{Ft}t≥0,P)上的m维Brownian运动.Λ(t)是右连续的Markov链，取值于有限状态空间S={1,2,…，N}，其生成元Γ=(γij)N×N表示为：

方程(1)的参数满足下列条件：

(A1)对于任意的R>0，存在一个LR>0，使得：

|f(φ,i)-f(ψ,i)|∨|g(φ,i)-g(ψ,i)|≤

LR‖φ-ψ‖,

其中φ，ψ∈C([-τ,0];n)，‖φ‖∨‖φ‖≤R,i∈S.

(A2)存在p≥2，K>0，使得：

K(1+‖φ‖2),g(0,i)≡0,

其中φ∈C([-τ,0];n),i∈S.

(A3)存在q≥2，H>0，使得：

|g(φ,i)-g(ψ,i)|2≤H‖φ-ψ‖2,

其中，φ,ψ∈C([-τ,0];n),i∈S.

(A4)对于任意的ϑ>1，初值ξ满足E|ξ(t)-ξ(s)|2ϑ≤C|t-s|ϑ.

为定义修正截断EM算法，选取充分小的Δ*>0和严格正的递减函数h:(0,Δ*]→(0,∞),使得：

(2)

(3)

(4)

对于非线性随机微分方程数值解，Mao X.首次提出截断EM算法，讨论其强收敛性和收敛率问题[1,2].文献[3,4]在截断EM算法基础上加以修正，提出修正截断EM算法，讨论随机微分方程数值解的强收敛性和渐近指数稳定性问题.

由于泛函的引入，随机微分方程数值解强收敛和稳定性研究会变得比较复杂[5,6]，文献[7,8]为了改善算法复杂度提出了时间上截断的EM算法，讨论随机泛函微分方程解的存在性和唯一性.

在文献[3]和文献[8]的基础上，提出在空间上和时间上都截断的EM算法，讨论混杂随机泛函微分方程数值解的强收敛率问题.强收敛率主要依赖于Markov切换.同时，这种算法改善了泛函带来的复杂度.

2 基本引理

引理1[9]若条件(A1)和(A2)成立，方程(1)有唯一的解X(t)，且

其中C是依赖于T,p,K,ξ的正常数.

引理2[9]对于停时

σR=inf{t≥0:|X(t)|≥R},infφ=∞.

若条件(A1)和(A2)成立，则：

利用文献[12]类似的方法，给出截断函数fΔ和gΔ的性质.

|fΔ(x,i)-fΔ(y,i)|∨|gΔ(x,i)-gΔ(y,i)|≤4Lh(Δ)‖x-y‖,

(5)

其中x,y∈C([-τ,0];n),i∈S.

引理5若条件(A2)成立,则对于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有：

2K(1+‖x‖2),

(6)

其中x∈C([-τ,0];n),i∈S.

引理6若条件(A1)和(A2)成立,则对于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有：

(7)

(8)

其中C是依赖于T,p,K,ξ的正常数.

(9)

计算：

‖ξ‖p+J1+J2+J3.

(10)

注意到：

由引理4有：

4Lh(Δ)‖ξ‖+h(Δ).

(11)

由Young不等式有：

因此，

再次应用Young不等式和(11)式，有：

利用不等式(a+b)p≤2p(ap+bp)，a,b>0,p>1可得：

由Burkhold-Davis-Gundy不等式、Young不等式和(11)式可得：

把J1,J2,J3代入(10)式可得:

其中C1,C2是依赖于T,p,K,ξ的正常数.

由Gronwall不等式可得：

对于t∈[0,t1)有：

对于t∈[t1,t2)有：

经过步长Δ的向前递推有：

因此，

t∈[tk,tk+1).证毕.

由引理6以及引理2的相似结论可以得到下面的引理.

引理7定义停时

ρΔ,R=inf{t≥0:|XΔ(t)|≥R},infφ=∞.

若条件(A1)，(A2)，(A4)和(2)式成立，则对于任意的R>‖ξ‖和Δ∈(0,Δ*)，有：

(12)

引理8若条件(A1)，(A2)和(2)式成立,则对于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，都有：

(13)

其中C是依赖于T,p,K,ξ的正常数.

引理9若条件(A1)，(A2)和(2)式成立,则对于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，使得当0≤s

(14)

(15)

其中C是依赖于T,p,K,ξ的正常数.

(16)

其中C是正常数.

E|XΔ(t)-XΔ(s)|2p≤C|t-s|p.

则对于任意的0≤t≤T，有：

引理11若条件(A1)，(A2)和(2)式成立,则对于任意固定的Δ∈(0,Δ*]和h(Δ)≥1，有:

(17)

其中C是依赖于T,p,K,ξ,Γ的正常数.

证明由条件(A1)和引理6可得：

根据Markov性质可得：

EI{Λ(s)≠Λ(tk)|Λ(tk)}=

故：

其中C是依赖于T,p,K,ξ,Γ的常数.同理可得第2个不等式.证毕.

3 强收敛率分析

其中δΔ,R:=σR∧ρΔ,R.

证明记δ=δΔ,R，e(t)=X(t)-XΔ(t).由It公式和Burkhold-Davis-Gundy不等式可得：

因此，

因为0≤s≤t∧δ，‖Xs‖≤R≤h(Δ)，所以

根据基本不等式可得:

和

因此，

(18)

根据Young不等式、引理4和引理10可得：

(19)

同理可得：

(20)

由Young不等式和引理11可得：

(21)

和

(22)

再次应用Young不等式和引理4可得：

(23)

把(19)～(23)式代入(18)式可得：

其中C和C1是依赖于p,q,T,H,Γ的两个正常数.应用Gronwall不等式即可得到需要的结论.证毕.

证明根据Young不等式，∀ε>0，有：

由引理1和引理6可得：

同时，由引理2和引理7可得：

因此，

4 实例

例1考虑带有Markovian切换Λ(t)的非线性随机泛函微分方程，其中Λ(t)取值于S={1,2}，生成元

其系统是

dX(t)=2Xtdt+3XtdB(t)

和

显然，条件(A2)和(A3)对于任意的p≤2,q≤2都成立，则对于任意的‖φ‖，‖ψ‖≤R有

‖2φ-2ψ‖∨‖3φ-3ψ‖≤3‖φ-ψ‖,i=1,

‖φ-φ3-ψ+ψ3‖∨‖2φ-2ψ‖≤(3R2+2)‖φ-ψ‖,i=2.

令LR=3R2+3≥3∨(3R2+2)，则f,g是局部Lipschitz连续的，且局部Lipschitz系数为LR.

取p=3,q=2，对于充分小的ε>0，考虑函数

由定理1可得：