基于VaR方法的股市风险分析

(华北水利水电大学 河南 郑州 450046)

一、引言

经济发展对人们生活的影响，已经超越人们的想象。在国际金融自由化的大背景下，伴随着金融衍生品的不断出现，作为一名理智的投资者不仅要了解投资的预期收益和资产价值，更要了解金融投资所应该承担的风险。

1959年，Markowitz发表了著名的《组合选择：投资的有效多样化》一书，开创了崭新的投资组合合理化理论。该理论中主要以方差和半方差作为风险的度量值，进一步佐证了投资组合的相关性对投资风险的重大影响。但是该理论在对投资组合的综合风险量化时仍存在很大问题。

同时，最前沿的从业者也需要更加客观更加精确的测量风险值的指标或者工具，解决不同类型的头寸风险管理问题。其中，最为著名的是J.P.Morgan集团开发的叫做RiskMeterics的风险管理系统。该方法起源于J.P.Morgan集团总裁Dennies Weatherstone要求工作人员在每天下午的4:15之前要提交给他一份报告。该报告指出整个银行范围内投资组合在未来24小时的风险和潜在的损失值，这就是著名的4.15报告。在该系统中，广泛的应用了VaR的风险测度方法。VaR方法是组合风险理论的发展，并且从根本上补充了投资组合风险测度上的不足。可能正是因为如此，J.P.Morgan集团开发的叫做RiskMeterics的风险管理系统分布在Internet上，很快得到了广泛的应用，也逐渐成为风险管理的国际标准。

随着风险管理实践的进一步发展，金融衍生品领域也存在重大的突破，交易量的大幅度增长，无疑是最有力的证据。同时虚拟财产的日益增加，人们对于投资组合收益所伴随的风险估值变得越来越紧迫，特别是杠杆和风险的隐蔽性，也使人们对此充满恐惧。

在我国，很多的金融领域的研究人员已经开始对VaR方法进行了初步的探索和研究。从上个世纪九十年代开始，一部分研究成果已经在期刊上发表。本文主要采用VaR风险测度方法，利用上证综合指数的实际数据，就实际应用问题进行进行深入讨论。

二、VaR方法简介

(一)VaR方法简介

组合收益的随机变量，f(R)是其概率密度函数，置信水平是c，则收益小于R*的概率表示为：

且VaR分为绝对风险指和相对风险值，绝对风险指是指相对于当前头寸的最大损失值，而相对风险值是相对于收益期望值的最大可能损失。

即VaR(相对)=-R*W+μW

其中μ是期望值，W为头寸的大小。实践中也通常使用这种相对VaR方法。

VaR值主要取决于以下三个因素：(1)持有期的长短；(2)置信水平的不同；(3)基础货币量。持有期是指投资组合风险值所在区间，可以是一天也可以是一个月。置信水平的不同主要取决于主体的风险偏好值得不同，区间分布在90%-99.9%。不同组合的风险值不仅取决于以上几个变量，还取决于基础货币的不同，因为VaR方法依赖于基础货币的选择。通过以上分析过程，不难看出VaR对风险的度量取得了质的飞跃，它开创了全新的风险管理阶段。在风险值的基础上，其技术可以用于全面的风险管理，不仅为机构、部门管理和绩效提供评估依据，还可以为合理的资本配置和金融监管提供重要的数据指标基础。

(二)VaR的计算方法

VaR的计算方法经过几十年学者的研究和发展，可以适用于不同的市场水平、数据水平和精确度水平。总体可以大致分为以下几种：

1.历史模拟法

历史模拟法又称简单模拟法和历史模拟法两种。

简单模拟法是根据每种资产的历史损益数据计算当前组合的“历史”损益数据,将这些数据从小到大排列,按照置信度的水平找到相对应的分位点 R *,从而计算出 VaR值。

当投资组合中的金融产品不存在历史数据或没有足够的历史数据时,需要用历史模拟法改进简单历史法。首先找出影响组合的基础金融工具或其他风险因素,通过分析它们的历史数据,得到风险因素未来的可能变化值,从而对现有组合进行估价,最后在一个给定的置信水平下,用组合价值的可能损益估计其风险值。

2.Monte Carlo 方法

与历史模拟法不同的是,Monte Carlo 方法并不直接利用每种资产的历史数据来估计风险值,而是得到它的可能分布,并估计分布的参数,然后用相应的“随机数发生器”产生大量的符合历史分布的可能数据,从而构造出组合的可能损益。通过这样的方法得到的大量的组合可能损益后,按照给定的置信水平得到风险值的估计。

J.P Morgan 集团从 1994 年在 Internet 上公布的名为 RiskMetrics 的VaR方法,其通过采用方差、协方差方法,首先假定对数价格的变化服从独立异方差的正态分布:

其中,Pt 表示某种金融工具在时间 t 的价格,时间间隔为 1 天。当已知 Pt -1时,假定 rt 的分布是均值为 0,方差为 σt 的正态分布。这里重要的是考虑了方差的时变性。J.P.Morgan 集团通过公布 480 种金融工具的 VaR值 和相关系数,使得金融机构可以方便地计算任意组合的风险值。

3.方差协方差方法

设{Pt}为某金融工具的价格的时间序列,R t 为收益,在金融市场价格的随机游动假说下,Pt服从独立的正态分布。由以下收益(R t)的定义

Rt=(Pt-Pt-1)/Pt-1

可知，当Pt-1已知时，收益序列{R t }服从独立的正态分布。设

令Zt=(Rt-μ)/σt，则有Zt服从标准正态分布，Zt～N(0,1)

由上式可以推定出：

Prob[Rt

在给定的置信水平c，对应的标准正态分布的分为点α，所以有

(R*-μ)/σt=∂

简单的推导可得：

R*=μ+∂σt

可以得到一下结果：

VaR(绝对)=-μW-ασtW

VaR(相对)=-ασtW

在之前讨论分析值得测度方法中，我们已经提出，一般的实际运用中采用相对VaR方法。

当资产组合包括两种以上资产时,我们用向量形式来表示。假定组合中有 n 种资产,每种资产的收益为 Ri(t)(i =1,…,n),令向量 R(t)=(R 1(t)R 2(t)…R n(t))T,并假定 R(t)服从多元正态分布,记向量 F =(ρi,j)n*n 为n 种资产的相关系数矩阵,ω=(ω1 ω2 …ωn)T 为每种资产投资占总投资的权重,显然有 ω1 +ω2 +…ωn =1,另记投资组合的收益为 Rp(t)则有

Rp(t)=ω1R1(t)+ω2R2(t)+ω3R3(t)…ωnRn(t)

我们已知正态分布的线性组合仍然是正态分布的,所以 R p(t)服从正态分布,按照上面的推导,其中VaRp为

VaRp=-ασpW

剩下的问题就是计算投资组合的标准差 σp 了。由数理统计的结果,我们已经知道由上式得到的正态变量的标准差σp同每种资产的标准差之间的关系是

其中，VaR=[VaR1VaR2VaR3…VaRn]是每种资产的风险值构成的向量矩阵，ωiW正好是投资在第i种资产上的头寸。

由以上定义和推导可见,在正态假设下,只需要估计每种资产的标准差和它们之间关系数就可以得到任意组合的 VaR。

三、基于 VaR 的股市投资风险值计算实例

下面我们将 VaR 方法引入我国股票市场投资风险分析。以上证综合指数的变化作为主要的参考数据,从而计算整个股市的大盘风险指。

假定沪市的综合指数在时间t的取值是Pt,时间间隔是一天，令rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)=ln(1+Rt)将上式在Rt=0点上展开，则一阶近似有

rt≈Rt

因为 rt 有更好的统计性质,所以我们以 rt 代替收益率 R t。同 RiskMetrics 一样,计算 VaR 的方法采用方差协方差方法,当rt-1已知时,假定 rt 服从独立异方差的正态分布,这里考虑了方差的时变性。

rt=ln(Pt)-ln(Pt-1)～N(0,σt)

由上式知VaRt=-ασtW

其中，α是标准正态分布上对应某一置信水平的分为点，σt为rt分布的标准差。

对方差的估计采用周期为 20 天(T =20)的移动平均法，针对于不同的时间周期进行计算，不难发现周期为20天效果最好。即

根据(11)式,考虑 1 天的持有期,令 W =1,对应的 VaR 值为风险值占整个投资额的比例。对置信水平的不同取值 c,对应的分位点为 α,我们计算相应的风险值 VaR。

采用的样本数据是沪市综合指数从 2013 年 1 月 3 日至 2017 年 1 月 23 日的每日收盘价。我们对置信水平的 4 个不同取值分别计算每天的 VaR 值,表1列出了本算例的主要结果。从表中数据分析可以看出,置信水平越高,风险值(均值,最大值,最小值)越大。这表明投资者对待风险的不同态度,对于谨慎的投资者来说,对风险的预期比较大,在量化风险时需要较高的置信水平,以降低投资的风险;对于进取型的投资者,对风险的承受能力比较大,在计算风险时设置相对低的置信水,相应的风险值比较低,有利于做出积极的投资决策,期望获取较高的利润。

表1 上证综合指数每日风险值(VaR)计算结果

表2 上证综合指数每日收益率计算结果

我们同时计算了上证综合指数的每日收益率,表2是本算例的每日收益率计算结果。把 VaR 值和每日收益率进行比较,损失(负收益)超出 VaR 的天数和比例列在表 1 的最后两列,可以看到,这个比例与相应的置信水平是基本吻合的,精确地说是略有超出,所以用本算例的方法计算的 VaR 值略低估了深市的风险。

另一个分析结果是,在我们考虑的数据区间内,每日风险值的最大值和最小值差别非常大,说明在不同时点的波动性变化较大,以 c =95 %为例,风险高时达到了每日最大损失13.42 %,风险低时只有 1.31 %的最大损失。对深市风险的估计必须保持实时性,根据最新的波动信息计算下一日的风险值。

特别地,对置信水平 c =95 %,我们绘制了反映收益率和风险值的对应曲线图。

图1 为上证持有期内的每日收益率。

四、结语

VaR方法是国际上金融领域最新的度量投资组合风险的定量分析方法，在我国金融市场快速发展的大背景下，引入VaR方法度量投资风险具有重要意义。本文不仅对VaR方法进行了深入的研究，还就其与上证指数在不同置信水平下的风险值进行了实例计算，这同时也表明VaR方法在我国股票市场的应用也是切实可行的。